电磁场理论柯亨玉著人民邮电课后答案

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1、第一章矢量分析与场论基础内容提要1）正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：q=q(x,y,z)q=q(x,y,z)q=q(x,y,z)112233在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为dl=hdqiiidl=qˆhdqiiiids=dl×dl=qˆhhdqdqijkijkjkdv=dl⋅dl×dl=hhhdqdqdqijkijkijk式中i、j、k代表循环量1、2、3，qˆ=qˆ×qˆ，qˆ⋅qˆ×qˆ=1，ijkijk222⎛∂x⎞⎛∂y⎞⎛∂z⎞h=⎜⎟+⎜⎟+⎜⎟称拉梅系数。i⎜∂q⎟⎜∂q⎟⎜∂q⎟⎝i⎠⎝i⎠⎝i⎠

2、三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：⎡eˆρ⎤⎡cosϕsinϕ0⎤⎡eˆx⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥eˆ=−sinϕcosϕ0eˆ⎢ϕ⎥⎢⎥⎢y⎥⎢eˆ⎥⎢001⎥⎢eˆ⎥⎣z⎦⎣⎦⎣z⎦柱坐标与直角坐标⎡eˆγ⎤⎡sinθ0cosθ⎤⎡eˆρ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥eˆ=cosθ0sinθeˆ⎢θ⎥⎢⎥⎢ϕ⎥⎢eˆ⎥⎢010⎥⎢eˆ⎥⎣ϕ⎦⎣⎦⎣z⎦球坐标与柱坐标⎡eˆγ⎤⎡sinθcosϕsinθsinϕcosθ⎤⎡eˆx⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥eˆ=cosθcosϕcosθsinϕ−sinθeˆ⎢θ⎥⎢⎥⎢y⎥⎢eˆ⎥⎢−sinθcosϕ0⎥⎢eˆ⎥⎣ϕ⎦⎣⎦⎣z⎦球坐

3、标与直角坐标2）矢量及其运算：直角坐标中算符∇的定义：∂∂∂∇=eˆ+eˆ+eˆxyz∂x∂y∂z一个标量函数u的梯度为：∂u∂u∂u∇u=eˆ+eˆ+eˆxyz∂x∂y∂z梯度给出了一点上函数u随距离变化的最大速率，它指向增大的方向。uv一个矢量F穿过一个曲面S的通量ψ为vψ=∫F⋅dss对一个闭合曲面而言，ds向外为正。v直角坐标系中F的散度v∂F∂F∂Fxyz∇⋅F=++∂x∂y∂zv表示在这一点上每单位体积向外发散的F的通量。散度定理：vv∫∫∇⋅Fdv=F⋅dsVS其中v是由s所包围的体积。斯托克斯定理：vv∫(∇×F)⋅ds=∫F⋅

4、dlsL其中s是由l所包围的面积。v直角坐标系中F的旋度eˆeˆeˆxyzv∂∂∂∇×F=∂x∂y∂zFFFxyz拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中：2222∂u∂u∂u∇⋅∇u=∇u=++222∂x∂y∂z一个矢量的拉普拉辛定义为：v2222∇F=∇Feˆ+∇Feˆ+∇Feˆxxyyzz其它坐标也可写成：vv2∇F=∇(∇⋅F)−∇×∇×Fx柱坐标系中vr=ρeˆ+ezˆρzvrd=dρeˆ+edϕeˆ+dzeˆρϕzdv=ρdρdϕdz∂u1∂u∂u∇u=eˆ+eˆ+eˆρϕz∂ρρ∂ϕ∂zvFρ∂Fρ1∂Fϕ∂Fz∇⋅F=+++ρ∂ρρ∂

5、ϕ∂zeˆρeˆeˆρϕzv1∂∂∂∇×F=ρ∂ρ∂ϕ∂zFρFFρϕz22221∂u∂u1∂u∂u∇u=+++2222ρ∂ρ∂ρρ∂ϕ∂z球坐标系中vr=erˆrdr=dreˆ+rdθeˆ+rsinθdϕeˆrθϕ2dv=rsinθdrdθdϕ∂u1∂u1∂u∇u=eˆ+eˆ+eˆrθϕ∂rr∂θrsinθ∂ϕv1∂21∂1∂Fϕ∇⋅F=(rF)+(sinθF)+()2rθr∂rrsinθ∂θrsinθ∂ϕeˆreˆθeˆϕ2rsinθrsinθrv∂∂∂∇×F=∂r∂θ∂ϕFrFrsinθFrθϕ221∂2∂u1∂∂u1∂u∇u=(r)+(

6、sinθ)+22222r∂r∂rrsinθ∂θ∂θrsinθ∂ϕ3）亥姆霍兹定理：v矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和vvvF=F+Fel其中vvv∇⋅F=∇⋅F(∇⋅F=)0levvv∇×F=∇×F(∇×F=)0el因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4）δ函数vv⎧0(r≠r)'定义：δ(r−r)'=⎨v⎩∞(r=r)'v⎧⎪r'(0在v外)∫δ(r−r)'dv=⎨v⎪⎩r'(1在v内)性质a）偶函数：δ(x)=δ(−x)∞b）取样性：∫f(x)δ(x−a)dx=f(a)−∞有机会用到的表达式：v121δ(r−r)'=

7、−∇4πrv−r'1-1.证明：vvA⋅B=(eˆx9+eˆy2−eˆz)6⋅(eˆx2+eˆy3+eˆz)4=18+6-24=0vv说明A与B相互垂直1-2.空白1-3.证明：vvA⋅B=AxBx+AyBy+AzBz=0vv说明A与B相互垂直1-4.解：当坐标变量沿坐标轴由u增至u+du时，相应的线元矢量dli为：iiivvdli=γ(u+du)−γ(u)iiiv∂γ=dui∂uiv∂γ=uˆduii∂uiv∂γ其中弧长dli=dli=dui∂ui3v其中γ=xˆ1x1+xˆ2x2+xˆ3x3=∑xˆjyˆjj=1v3∂γ∂xj=∑xˆj∂u

8、ij=1∂uiv2∂γ3⎛∂x⎞=⎜j⎟∑⎜⎟∂uij−1⎝∂ui⎠23⎛∂x⎞j令hi=∑⎜⎜⎟⎟j−1⎝∂ui⎠则dl=hduiii1-5.解：(