控制系统的状态空间描述(第二讲)课件.ppt

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1、线性系统状态空间描述经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：(1)系统模型为单输入单输出系统；(2)忽略初始条件的影响；(3)不包含系统的所有信息；(4)无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。状态变量表达式是能够描述系统全部状态和特性（内部和外部）的一种数学模型。用状态变量表达式描述系统，易于通过数学计算机求解，并可能利用数学计算机进行分析设计和实时控制。状态空间方程在状态空间分析中，包含在动态系统的模型中有3种类型的变量：输入，输出和状态变量：对一个系统，其状态空间表达式不是唯一的，但对同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言，其状态变量的数量是相同的。设一系统包含n个记忆元件，它在

2、t>t0时能够记忆输入量的值。因为在连续时间控制系统中，积分器被作为记忆装置，并将其输出量看作变量。假设MIMO系统中有n个积分器，又设有r个输入u1(t),u2(t),…,ur(t)和m个输出量y1(t),y2(t),…,ym(t)。定义积分器的n个输出量为状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)。系统可描述为：2.1状态空间的基本概念系统的输出量y1(t),y2(t),…,ym(t)可表示为：定义：则有：状态方程：输出方程：A称为状态矩阵；B称为输入矩阵C称为系统输出矩阵；D称为直接传输矩阵1.状态:表征系统运动的信息和行为2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量3.状态空

3、间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间例如：解：令：i(t)和uc(t)为状态变量，例2-1设机械位移系统如图2-1所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移x及其速度、加速度。图中m、k、f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。图2－1双输入-三输出机械位移系统显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选状态变量为：解据牛顿力学，有则:状态方程：输出方程：例1求图示机械系统的状态空间表达式令动态方程如下2.2由微分方程或传递函数建立动态方程对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求

4、对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一，最小实现也不唯一。数学模型的转换1　传递函数与状态空间方程传递函数阵2　微分方程与状态空间方程1　微分方程向状态空间方程的转换：1）系统输入量中不含导数项，一般选择输出变量及其各阶导数作为状态变量，状态空间表达式：令：对于n阶微分方程可选取n个状态变量，组成n维状态空间方程。求（A，B，C，D）解：选则：例：设状态空间表达式为2）系统输入量中含有导数项如果单输入—单输出系统的微分方程为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了避免在状态方程中出现u

5、的导数项，可以选择如下的一组状态变量。即：将代入得：选择使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0，即可解得：令上式中u的系数为最后可得系统的状态方程：可写成向量-矩阵的形式：即：传递函数与状态空间方程的转换设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为可写成向量-矩阵的形式：设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为2典型实现：(2-11)1.能观测标准形实现(2-13)其展开式为设(2-11)考虑式(2-11)可得故有状态方程：(2-14)输出方程为(2-15)

6、其向量-矩阵形式为(2-16)式中式(2-16)所示动态方程，称能观测标准形实现。2．能控标准形式实现定义如下一组状态变量可得状态方程输出方程为(2-20)其向量-矩阵形式为(2-21)式中式(2-21)所示动态方程，称能控标准形实现。三动态方程的线性变换设系统的动态方程为式中P为非奇异线性变换矩阵。令(2-47)(2-46)式中(2-48)可得变换后系统动态方程为四线性化动态方程的建立实际的物理系统通常含有非线性因素，其一阶微分方程组的一般形式为输出方程的一般形式为(2-49)(2-50)其向量-矩阵形式为(2-51)式中、g的诸元是和的某类非线性函数。当和限制在工作点或平衡点附近的小偏

7、差范围内工作时，系统非线性方程能足够精确的用线性化方程来描述。即为平衡点。将式(2-51)在附近展开成台劳级数并略去二次及其以上各项有可解得(2-53)式(2-54)和式(2-55)即为线性化动态方程，式中(2-55)故(2-54)