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时间:2020-08-01
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1、思考:第二节 定积分基本积分法换元法分部积分法牛顿-莱布尼兹公式:其中【例1】【例2】1.定积分的换元积分法设f(x)在[a,b]上连续,若 满足:(1)(2)在 (或 )上, 连续且则2.定积分的分部积分法【例3】【解】令x=2sect,问题:原式= ,可以吗?x=2t=t=0;x=4注:定积分换元必须换限,而不必回代.(1)不定积分换元必须回代原变量;(2)变换 须满足条件.例若作倒代换 ,则所以,原式=0×【例4】奇偶函数在对称区间上的积分性质(1)若f(x)为偶函数,则设f(x)在[-a,a]上连续
2、(2)若f(x)为奇函数,则【证明】令x=-t,则一般结果(1)若f(-x)=f(x),则(2)若f(-x)=-f(x),则【例5】奇函数偶函数单位圆的面积【例6】周期函数的积分性质若连续函数f(x)以T为周期,则 ,有结论说明:周期为T的连续函数在任一长度为T的区间上的积分值都相等,与积分区间的起讫点无关.TO2Ta-Ta+T【证明】只需证即令x=u+T,则另证:设只需证注:若连续函数f(x)以T为周期,则有(n为自然数)例【例7】f(x)在[0,1]上连续,则【证明】例如:【例8】计算 (n为非负整数)【解】时n
3、为偶数n为奇数0n为偶数n为奇数例如:【例9】已知f(0)=1,f(2)=3, ,求【解】【例10】dvuu注:积不出来f(x)连续f(x)可积f(x)可积说明f(x)的原函数存在.积不出来说明f(x)的原函数不能用初等函数表达.第七章 定积分应用与广义积分定积分应用广义积分几何应用,经济应用设f(x)在[a,b]上连续,且整体面积A近似代替求和取极限简化步骤:任取面积元素回顾:U具有可加性(即整体量=局部量之和),且(1)分布在[a,b]上;(2) ,U在[x,x+dx]上的局部量则积分元素说明:中,f(x)dx必
4、须是 的线性主部,即要定积分的元素法(微元法)此时实际上f(x)dx=dU第一节 几何应用平面图形的面积曲线的弧长空间区域的体积一、平面图形的面积1.直角坐标系下OxyabAxx+dxdA【例1】计算由 与y=x+4所围成的图形面积.【解】y=x+4交点(-2,2),(4,8)问题是否要讨论f(x),g(x)的正负性?y=f(x)y=g(x)Aba-24【例2】求在区间上曲线y=lnx,x轴及两直线所围成的平面区域的面积.【解】12xy0
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