高中数学选修2-2教案第一章 习题课2.docx

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1、习题课　数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．题型一　利用数学

2、归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论．例1　已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N＋，不等式··…·>都成立．证明　由bn＝2n，得＝，所以··…·＝···…·.下面用数学归纳法证明不等式··…·＝···…·>成立．(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时不等式成立，即··…·＝···…·>成立．则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝···…··>·＝＝>＝＝＝＝.所以当n＝k＋1

3、时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式··…·＝···…·>对任意的n∈N＋都成立．反思与感悟　用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1　用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋)．证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝，因为<，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－成立，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可得，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二　利用数学

4、归纳法证明整除问题例2　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1

5、)(2)知，对任意n∈N＋，命题成立．反思与感悟　证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2　证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N＋)能被x＋y整除．证明　(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋

6、y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三　利用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．例3　平面内有n(n∈N＋，n≥2)条

7、直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，n≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k