高中数学选修2-2教案第三章 1_1.docx

《高中数学选修2-2教案第三章 1_1.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．1　导数与函数的单调性明目标、知重点1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数判断函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．导数与函数单调性的关系(1)一般地，在区间(a，b)内导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)若函数f(x)在(a，b)内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x)不恒为零．(3)利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的

2、定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间．当函数y＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来．探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系思考1　观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．　　答　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)

3、从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2　观察下面四个函数的图像，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答　(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增

4、，则f′(x)不一定大于零．由图(3)知f′(x)≥0恒成立．小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3　(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答　(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单

5、调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1　已知导函数f′(x)的下列信息：当10；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图像的大致形状．解　当10，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图像的大致形状如图所示．反思与感悟　本题具有一定的开放性，图像不唯

6、一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1　函数y＝f(x)的图像如图所示，试画出导函数f′(x)图像的大致形状．解　f′(x)图像的大致形状如图：注：图像形状不唯一．探究点二　求函数的单调区间例2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(00得x<－3，或x>2，由f′(x)<0解得－3

7、－∞，－3)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－3,2)．(2)f′(x)＝cosx－1≤0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴00时，函数的单调递增区间是[－，

8、]．令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，函数的单调递