数学实验报告数值积分.pdf

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1、西安交通大学实验报告课程高等数学实验名称matlab实验共页系别能动学院实验日期2011年06月15日专业班级_______能动_04__实验报告日期2011年06月17日姓名______吴建东_____学号10031102教师审批签字：数学实验一：数值积分实验问题：按照级数逼近思想和简单定积分近似计算方法和有关公式计算ln2的近似值，精确到−5。10要求:（1）利用级数展开方法计算ln2尝试构造快速逼近公式计算。（2）利用梯形法，抛物线法分别进行计算并加以比较。(此问题较简单因此不做而增加（3）)（3）引申用龙贝格(Rom

2、berg)方法并计算分析误差问题分析：（1）先用一般级数展开方法计算ln2，比较误差和收敛速度；再尝试构造快速逼近公式。所用的理论知识为计算方法中的级数展开，数值积分。（2）利用matlab中已知函数trapz（x,y）,和函数quad（x,y）计算，比较误差。（3）利用数值积分龙贝格计算方法编写程序计算。问题详细分析与程序编写：234nxxxn−1x一般方法利用ln(1+x)=x−+−++(−1)+(−1

3、=ln2−S=(−1)+(−1)+=−+=1.0e-5n=n+1;k=k*(-1);p=p+k/n;r=abs(k/n);fprintf('n=%.0f,p=%.10f',n,p1);end故要使精度达到−4，需要的项数1−410n应满足<10，即n+14n>10−1=9999，亦即n应为100000.最终n为100001.此算法较简单但是运行速度慢即收敛慢，由课本计算pi的改进方法设计以下算法：构造快

4、速逼近：将展开式234nxxxn−1xln(1+x)=x−+−++(−1)+(−1

5、k=0;whiler>=1.0e-5n=n+1;p=p+((1/3)^(2*n+1))/(2*n+1);r=2*(1/3)^(2*n+1);k=2*p;fprintf('n=%.0f,k=%.10f',n,k);end其误差为1111R=ln2−S=2⋅⋅+⋅+2n+12n−12n+12n+32n+132n+3311111≤2⋅⋅1+++<2n+1242n−12n+13334(2n+1)⋅3由程序运行结果只当n=5时满足误差−4R<10，此时的ln2≈0.69314.2n−1最后一项n为6收敛速度大大加快。（2）编程

6、龙贝格计算算法分析龙贝格算法公式：（0）ba−T=(()fafb+())12t−11ba−−2ba()tt(−1)T11=T+tt−1∑fa(+−(2i1))22i=12mk(+1)()k()k4TTmm−T=m+1m41−tn=1,2,...,;mn=1,2,...,;k=0,1,...,nm−;龙贝格计算过程：（0）ba−1.hbaT=−=,(()fafb+())122.ln=2,3,...,h(1)H=0,xa=+2(2)HHfxxxh=+=(),+(3)若，xb<则转(2).(ll−−1)1(2)(4)T

7、11=(T+hH*)2(5)ml=1,...,−1m(lm−)(lm−−1)(lm−−1)4TTmm−T=m+1m41−(0)(0)(0)(6)若则TT，输−<=出,停机ε,。ITImm++11mh(7)h=221所以ln2=∫dx,a=1,b=2,f(x)=1/xx1程序如下（用fortran编写）programmainintegernoneintegeri,k,nreala,b,h,e,x,yreal(8)t(0:1000,1:10000)!声明一个足够大的数组b=2.0;a=1.0;h=0;x=1;e=0.00001;

8、n=100!初始化t(0,1)=(b-a)/2*(1+1/2)h=b-at(1,1)=h/4*(f(a)+2*f((a+b)/2)+f(b))doi=1,nt(1,i+1)=1/2*t(1,i)x=a+h/(2**i)t(1,i+1)=t(1,i+1)+h/(2**i)*f(x)enddo