数值积分上机实验报告.docx

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1、数值积分上机实验报告桂贤进题一：数学上已经证明了0141+x2dx=π成立，所以可以通过数值积分来求π的近似值。1.分别使用复合梯形、复合Simpson求积公式计算π的近似值。选择不同的h,对每种求积公式，试将误差刻画为h的函数，并比较两方法的精度。是否存在某个值，当低于这个值之后，再继续减小h的值，计算精度不再有所改进，为什么？2.实现Romberg求积方法，并重复上面的计算；3.实现自适应积分方法，并重复上面的计算。解：1.1公式分析：(a)对于复合梯形公式Tnf=h2[fa+fb+2i=1n-1fa+ih],h=b-an(1)离散误差为：Enf=-nh312f(2)ξ=-h2b-a1

2、2f(2)ξ,a<ξ

3、23.09802.4026e-0561/63.12640.004633.60438.7265e-0781/83.10890.002603.87071.5113e-07101/103.71590.001673.92153.9651e-08121/123.68510.001163.53801.3284e-08201/203.41294.1667e-043.97856.2001e-10301/303.73301.8519e-043.53595.4434e-11401/403.36121.0417e-043.01059.6878e-12501/503.32546.6667e-053.72532.5

4、402e-121001/1003.31291.6667e-053.97533.9968e-142001/2003.31304.1667e-063.97930从上表中可以看出：复合Simpson公式比复合梯形公式精度高，误差收敛的速度快不少。1.3误差下降速度对比：从上图可以看出，复合Simpson公式误差的收敛速度比复合梯形公式的误差的收敛速度快不少，下面验证收敛阶。1.4验证收敛阶：本实验的实际误差主要由离散误差和计算过程中的舍入误差组成，这里离散误差起主导作用，故理论上实际误差的收敛阶应该与离散误差的收敛阶相同。下面利用如下公式来计算实际的收敛阶，并与理论分析所得出的离散误差的收敛阶作

5、比较。err1err2=h1h2p对上表格中所列的区间长度hi值，逐次利用相邻两个小区间长hi通过上述公式来计算收敛阶,并绘制成图形。得到图形如下：(a)对复合梯形公式：由上面公式(2)可知，离散误差关于h为二阶收敛，同时由上图可知实验结果的收敛阶将近为2，故与理论分析相符。(b)对复合Simpson公式：这里却有些奇怪，由上面公式(4)可知，离散误差理论上为4阶收敛，可实验结果却是将近6阶收敛。下面将进一步深入探究。探究如下：考虑这是由于被积函数f(x)的特殊性导致，而不是由于Simpson公式离散误差真的能达到6阶收敛。由误差的余项公式Emf=-mh590f(4)ξ=-h4b-a180

6、f(4)ξ,a<ξ

7、变小；而当h小于H时，此时舍入误差将在计算结果的精确度起主导作用，再减小h,会导致计算结果的精确度基本保持不变甚至可能会有减小。1.5.2实验检验：（a）对于复合梯形公式：注意到误差收敛的速度较小，故我们首先选取区间数n=100，101,102,103…108进行分析，得到下面图形。从图中可以看出，复合梯形公式的阈值H在区间数n为10^6到10^8之间取到。下面对n处于区间10^6到10^8进行分析。由上图可以看出在n取