2019年泰勒公式课件.ppt

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1、存在(或为)定理(洛必达法则).§3.2内容回顾(或∞)注:极限非零的因子,要利用乘积的极限法则;并注意利用等价无穷小代换,以便简化运算.千万不要盲目地直接利用洛必达法则其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化若在且则：（１）当Ａ＝Ｂ时，可导，在分段函数在分段点处的导数与导函数极限定理内连续（２）当Ａ≠Ｂ时，（３）当Ａ、Ｂ有一个不存在时，失效．导函数在x0处的左右极限x=0不可导求下列极限:解:备用题令则原式=解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)解:原式=二、几个初等函数的麦克劳林公式一、泰勒公式的建立三、泰勒公式

2、的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析!!!近似计算§3.3泰勒(Taylor)公式第三章时,特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式1.求一n次多项式使其满足:故令则∴2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立,但①式必须有直到n+1阶导

3、数在x0处可微的充要条件:特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中或其中或类似可得其中或其中或已知其中类似可得或(5)(4)(3)(2)(1)注:三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于令由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式

4、为例2.计算解:原式(P14310(3))2.利用泰勒公式求极限3.利用泰勒公式证明不等式例3.证明证:内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式(P140~P142)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,42246420246泰勒多项式逼近42246420246泰勒多项式逼近作业P1451;4;5;7;10(1),解:1.设f(x)在x=0的附近二阶可导且求及极限所以或两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为

5、整数;矛盾!证明e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.