线性代数矩阵的初等变换课件.ppt

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1、第五节矩阵的初等变换一：矩阵的初等变换与初等矩阵(一)矩阵的初等变换(二)初等矩阵（三）矩阵的初等变换与初等矩阵二：矩阵与阶梯形矩阵(二)矩阵与阶梯形矩阵关系(一)阶梯形矩阵概念(三)可逆矩阵与单位矩阵关系第五节矩阵的初等变换一：矩阵的初等变换与初等矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换对换矩阵A的两行，记作称为对换，(1)对换获得的矩阵记作(2)用数乘矩阵的第行，记作称为倍乘，倍乘获得的矩阵记作(3)把矩阵的第i行的k倍加到第j行上去，称为倍加，记作倍加获得的矩阵记作(一)矩阵的初等变换类似

2、地，可定义矩阵的初等列变换，并依次记为(1)获得的矩阵记作(2)获得的矩阵记作(3)获得的矩阵记作初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，2　矩阵的等价则称矩阵A与B等价，记作(二)初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．三种初等行变换对应着三种初等矩阵1)对换单位矩阵E的i,j两行所得初等矩阵记为例如1定义32)用非零数k乘单位矩阵E的第i行所得初等矩例如3)把单位矩阵E的第i行的k倍加到第j行上阵记为所得初等矩阵记为例如三种初

3、等列变换也对应着三种初等矩阵，注(1)(2)给出一个矩阵要能判断其是否是初等矩阵,若是初等矩阵那么既可以是单位矩阵通过一次行变换获得,也可以是单位矩阵通过一次列变换获得.要能写出实施的变换.例不是初等矩阵2初等矩阵的逆矩阵初等矩阵都是可逆的,性质且注:(1)请证明初等矩阵都是可逆的;(2)初等矩阵逆的矩阵也是初等矩阵.（三）矩阵的初等变换与初等矩阵定理1对一个于在A的左边乘上相应的n阶初等矩阵；矩阵A作一次初等行变换就相当变换就相当于在的右边乘上相应的m阶初等矩阵。对A作一次初等列即注:（1）定理

4、把矩阵的初等变换与矩阵乘法两种不同的概念联系起来，即矩阵的初等变换可以通过矩阵的乘法实现。（2）初等矩阵在左边则应视它为单位矩阵施行行变换获得的，初等矩阵在右边则应视它为单位矩阵施行列变换获得的例设证明:以为例证明思考:证明矩阵的等价关系是等价关系即(1)(2)若则(3)若且则引例求解线性方程组二：矩阵与阶梯形矩阵(一)阶梯形矩阵概念用消元法得进一步得系数矩阵系数矩阵求解线性方程组即是将方程组的系数矩阵通过初等行变换变成再通过初等行变换变成称一个矩阵是阶梯形矩阵，是指它满足如下两个条件：（1）零行

5、(元素全为零的行)在非零的下方（2）每个非零行的第一个非零元均均位于上一行的第一个例定义4非零元的右边阶梯形矩阵的特征:每行第一个非零元下的元素全为零注定义5下三个条件：（1）它是阶梯形的；（2）每一个非零行的第一个非零元均是1（3）每个非零行的第一个非零元所在列的其它元素都是零例(事实上任意阶单位矩阵都是简单阶梯形矩阵）称一个矩阵是简单阶梯形矩阵，是指它满足如(二)矩阵与阶梯形矩阵关系任意一个非零矩阵经过有限次初等行变换，1:定理2总可以变成阶梯形矩阵，再经过有限次初等行变换还可以变成简单阶梯形

6、矩阵。注:(1)自然矩阵通过初等变换可以变成简单阶梯形矩阵(2)由定理1可得任何一个矩阵存在一系列初等矩阵乘以该矩阵积为阶梯形矩阵.(1)第一列有一个非零元:(Ⅰ)作变换得(Ⅱ)(Ⅲ)按对矩阵A的方法讨论2:矩阵通过初等行变换变成阶梯形矩阵方法考察矩阵A的第一列设为对矩阵若矩阵A的第一列是全为零:按对矩阵A的方法讨论(2)例1用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵解(三)可逆矩阵与单位矩阵关系定理3可逆矩阵经过初等行变换变成的简单阶梯形矩阵一定是单位矩阵。注(1)若A可逆,由定理1，3可

7、知:必存在一系列初等矩阵（2）由又初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵，可逆矩阵等于一系列初等矩阵的乘积故有推论:满足知一个矩阵可逆当且仅当它是一系列初等矩阵的乘积(3)由(2)“可逆矩阵等于一系列初等矩阵的乘积”可逆矩阵A左乘B，可逆矩阵A右乘B，若A可逆,(4)由B可逆知存在一系列初等矩阵满足定理3*:可逆矩阵能用初等列变换变成单位矩阵故可得其积AB可由B做一系列行变换而得到；其积BA可由B做一系列列变换而得到．则存在可逆矩阵B由满足（5）由得由即有“把可逆矩阵A变成单位矩阵的一系列行变换可把单位矩阵

8、变成A的逆矩阵”．即这提供一个用初等行变换来求逆矩阵：作分块矩阵(Ⅱ)(Ⅰ)用初等行变换矩阵把左边一半变成E时，右边的一半就是即事实上这种方法也可以判定矩阵是否可逆：“用初等行变换把左边一半变成简单阶梯行时左边的部分不是单位矩阵则不可逆”特别强调的是该方法对只能实行行变换（为什么）用初等行变换求矩阵的逆矩阵。例2故求解矩阵方程若矩阵可逆,则矩阵方程有惟一解又故作分块矩阵用初等行变换例3其中解矩阵方程解:计算可知所以矩阵A可逆故例3其中解矩阵方程解:计算可知所以矩阵A可逆故思考：能否