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1、第3章离散傅立叶变换和快速傅里叶变换1本章主要知识点傅氏变换的几种可能形式周期序列的离散傅立叶级数（DFS）离散傅立叶级数（DFS）的性质离散傅立叶变换（DFT）——有限长序列的离散频域表示离散傅立叶变换（DFT）的性质离散傅里叶变换在应用中的问题离散傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）FFT的基本思想时间抽取基-2FFT算法频率抽取基-2FFT算法快速傅里叶逆变换快速傅里叶变换的应用2傅立叶变换是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的某种变换关系。离散傅立叶变换（DFT）则建立离散时域与离散频
2、域之间的关系。DFT是分析有限长序列的有用工具，在各种信号的处理中起着核心作用。FFT的出现使DFT对信号处理的发展起了巨大的推动作用。DFT的实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，是使得频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行。离散傅立叶（DFT）变换的重要性3从傅立叶变换到离散傅立叶变换，及其应用要解决两个问题：离散与量化，快速运算。DFT是现代信号处理桥梁傅氏变换频域离散量化DFT(FFT)信号处理4一．连续时间、连续频率的傅立叶变换00t§3.1傅氏变换的几种可能形式正变换：反变换：
3、5时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。即：一个域另一个域连续非周期6二.连续时间、离散频率傅里叶变换—傅立叶级数0---0t---7时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的时域：连续、周期（周期为Tp）频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）8三．离散时间、连续频率的傅氏变换——序列的傅立叶变换x(nT)-T0T2Tt---0---9时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的时域：非周期、离散（取样间隔为T）频域：连续、周期（周期为）1000t0---0t---
4、x(nT)-T0T2Tt------011四．离散时间、离散频率的傅立叶变换——DFTx(nT)=x(n)t0T2T12Nn00123kNT12由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两个域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的13DFT的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：1415视作n的函数，视作k的函数，这样,正反16§3.2周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入对上式进行抽样，得：导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：17因是离散的，所以应是周期的
5、。，代入而且，其周期为,因此应是N点的周期序列。18又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。191.预备知识二．的k次谐波系数的求法20同样，当时，p也为任意整数，则所以亦即21２．的表达式将式的两端乘，然后从n=0到N-1求和，则：2223的DFS24通常将定标因子1/N移到表示式中。即：253．离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号代入，则：正变换：反变换：264．的周期性与用Z变换的求法周期性：27的一个周期内序列记作,
6、而且=,0nN-10,其他n对作Z变换，用Z变换来求：28可见，是Z变换在单位圆上取样，取样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个取样点为k=0。如果，则有1234567(N-1)k=029其中，a,b为任意常数。§3.3DFS的性质一．线性如果则有30二．序列的移位则有：如果31证明：令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以*和都是以N为周期的周期函数。32三．调制特性如果则有33证明：时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。34四．周期卷积和1.如果,则：352
7、.两个周期序列的周期卷积过程（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到可计算出：36m计算区mm012337（3）将右移一位、得到可计算出：m38计算区mm0123m39（4）将再右移一位、得到，可计算出：40（5）以此类推，41n1344计算区31423.频域卷积定理如果，则43§3.4DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识1.余数运算表达式如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解，或称作取余数，或说作n对N取模值，或简称为取模值，n模N。44例如：(1)(2)45先取模值，后进行函
8、数运作;而视作将周期延拓。2.46二.有限长序列x(n)和周期序列的关系=,0nN-10,其他n周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。47如：N-1nx(n)0......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。48三.周期序列与有限长序列X(k)的关系同样，周期序列是有限长序列X(k)的
