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1、1§2矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的计算三、特征多项式的性质和矩阵的迹12一、特征值与特征向量的概念在与矩阵A相似的矩阵中，我们希望找到一个可逆矩阵U，使得00设是U的列向量分块，则23定义对于n阶矩阵A,如果对于一个数存在一个非零n维向量使得则称是矩阵A的一个特征值,称为A的属于的一个特征向量.注意,特征向量必定是非零向量,特征值则可能是零.例5是A的一个特征值,(1,1)T是A的属于5的一个特征向量.其实任何向量(l,l)T也是.34矩阵A的特征向量是这样的非零
2、向量,沿着这个向量的方向的所有向量在相应的线性变换下都伸缩一个固定的倍数.这个向量在一定意义下去表达了相应线性变换的某种特征,称它为特征向量实至名归,在特征向量方向伸缩的倍数当然也表达了线性变换的某种特征,称其为特征值也相当贴切.451.如果是A的属于的一个特征向量,.则也是A的属于的一个特征向量,2.如果是A的属于的一个特征向量,则也是A的属于的一个特征向量.5例是矩阵A的特征值的充分必要条件是证明存在特征向量有非零解故
3、A
4、=0.例可逆矩阵A有特征值,则是的一个特征值.证明存在特征向量使得6例是A的特
5、征值,则是的一个特征值,k是正整数.A可逆时,k是任何整数.证明存在属于的特征向量用数学归纳法容易证明对于正整数k有A可逆时,,是的属于的特征向量,故是的特征值.7例是的分别属于特征值的特征向量，则是的属于的特征向量。是A的属于特征值的特征向量，则是f(A)的特征值。89二、特征值与特征向量的计算n阶矩阵A的特征值与特征向量满足这是一个齐次线性方程,它说明特征向量是齐次方程的非零解,而这个齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零特征方程特征多项式910定理是矩阵A的属于特征值的特征向量的充要条件是:是
6、特征方程的的根,是线性齐次方程的一个非零解.这个定理给出了1011求特征向量和特征值的步骤(1)计算特征多项式;(2)解特征方程求出全部根;(3)对于每一个根求齐次线性方程组的一个基础解系,r是系数矩阵的秩.1112例求以下矩阵的特征值和特征向量解(二重根).1213时相应齐次线性方程组的系数矩阵对应齐次线性方程组基础解系属于特征值6的全部特征向量是1314(二重)时相应齐次线性方程组的系数矩阵对应齐次线性方程组分别令得基础解系属于特征值2的全部特征向量是不全为零.此例中的二重特征值,对应齐次方程基础解系
7、恰好含两个向量.1415>with(linalg):>A:=factor(det([[a-1,1,-1],[-2,a-4,2],[3,3,a-5]]));Maple程序>A:=[[1,-1,1],[2,4,-2],[-3,-3,5]]:eigenvects(A);1516例求以下矩阵的特征值和特征向量解1617A的属于特征值0的所有特征向量对于齐次线性方程基础解系1718对于齐次方程组属于2的特征向量基础解系此例中的二重特征值,对应齐次方程基础解系只含一个向量.1819>A:=matrix([[4,2,1
8、],[-2,0,-1],[1,1,0]]);eigenvects(A);>with(linalg);1920例求以下矩阵的特征值和特征向量解特征值2021取为自由未知量,令齐次线性方程基础解系特征向量2122为自由未知量,齐次线性方程组取基础解系特征向量2223为自由未知量,基础解系特征向量2324>A:=matrix([[1,2,2],[2,1,-2],[-2,-2,1]]);eigenvects(A);2425例如果矩阵A满足A2=A,则称之为幂等矩阵,试证A的特征值只能是0或1.证设是A的一个特征值
9、,而是A的属于的一个特征向量.于是2526作业习题五1,2,3,4,5,6(1),(3),(5)2627求特征值和特征向量的第一步就是求矩阵的特征多项式，其形式是：三、特征多项式的性质和矩阵的迹复数情形2728复数情形2829定理相似矩阵具有相同的特征多项式证明2930定义矩阵的主对角线元素之和称为它的迹(trace)，记作tr(A),即3031矩阵的迹的几个性质证明前三个可直接验证,(5)是(4)的推论,今证(4)3132证明中用到即求和号中项的指标可以用任何字母,关键是项的表达式和求和范围.3233例
10、已知三阶可逆矩阵A的特征值为1,2,3,求的特征值.解33作业习题五8(1),(3),(5),9,11,13,15,16(1),(3),(5)34
