高数函数的单调性与凹凸性课件.ppt

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1、第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,例2.证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明*证明令则从而即定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分

2、界点称为拐点.拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例4.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸对应例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,

3、向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及作业P1523(1),(7);5(2),(4);9(3),(6);10(3);13;14;*15;;第五节有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.=证明:当时,有证明:令,则是凸函数即2.(自证)第五节