圆内极点极线的结论.pdf

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1、极点极线的简单应用内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。关键词：极点极线调和点列完全四边形不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何

2、以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。一、定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。如下面的这道题：如左图（1）所示，PS、PT与⊙O相切于S、T两点，PAB为圆的任意一条割线，交ST于M，求证：P、A、M、B四点成调和点列。解：设OP交ST于L。联结AL、AO、BL、BO，则2由圆幂定理可知PAPB⋅=PLPO⋅=PS∴ALBO四点共圆从而∠PLA＝∠OBA＝∠OAB＝∠OLB即L

3、P是∠ALB的外角平分线但是PL⊥LM，故LM是∠ALB的内角平分线。AMACAP∴==MBLBPB即PAMB是调和点列。（1）由于PAB的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB，他与ST的交点M，PABM成调和点列。于是我们寻找另外的方法。通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：PAPS⋅sin∠PSAPBPS⋅sin∠PSA∵=，=AMSM⋅sin∠ASTBMSM⋅sin∠BST由正弦定理得PAPSASPBPSSB=⋅，=⋅AMSMATBMSMBT∵∆PSA∼∆PBS∆PAT∼∆PBTASAT∴=SBBTPAPB∴=AMBM由此看出上述的

4、接论是成立的。于是我们把P点叫做ST直线关于圆O的极点，直线ST是P点关于的极线。上题只是P点在圆外的情况，实际上P点在圆内与圆上都是存在关于他的极线的。当P点在圆上时，P点的极线即是P点的切线。当P点在圆内时，我们也可以找到他的极线：如右图，过P点作任意两条割线AB，CD，P′，P′′分别为AB、CD的调和点，则对于任意的割线，P′P′′为固定直线，则P′P′′为P点关于圆O的极线。（2）下面证明P′P′′为固定直线。解：过OP做弦EF，在直线EF找到一点Q使得QFPE四点调和过Q做⊙O的两条切线QM、QN，运用同一法易证得MNP三点共线，且易证得∠AQP=∠DQP引理1如下图

5、，对线段AB的内分点C和外分点D，以及直线AB外的一点P，若PC是∠APB的平分线，且C、D调和分割AB，则PC⊥PB。P可过点C作EF∥PD，交射线PA于点E，交射线于点F，EECACCBCFD∵===PDADBDPDACB∴EC=CFF从而知PC⊥EF，亦知PC⊥PB（3）由引理1得到OQ⊥QP′与OQ⊥QP′′从而得出PQP′′′三点共线，所以P′P′′为固定直线，即P点关于圆的极线。从而看出极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。二、性质由上面的证明过程中，我们总结出性质1。性质1P点与过P点作任意割线与圆和其关于圆

6、的极线所交形成的三点为调和点列。在研究性质1的过程中，我们发现了关于极点与极线一个十分特殊的例子，六点共线。如图（4），连线ST为Q关于圆O的极线，任意作两条割线QAB、QCD分别交ST于H、J，联结AD、CB交于I，延长CA与DB交于P，则P、T、H、I、J、S六点共线。（4）证明过程如下：AHAQCJCQ由引理知=，=故BHBQDJDQAHBHAH+BHABCJDJCJ+DJCD===，===AQBQAQ+BQAQ+BQCQDQCQ+DQCQ+DQHQAH+AQAQAQ+BQ2BQ==+=+11=AHAHAHABABJQCJ+CQCQCQ+DQ2DQ==+=+11=CJCJC

7、JCDCDCPABQDCPAH考察∆ACQ被直线PBD所截应用梅涅劳斯定理可知1=⋅⋅=⋅PABQDCPAHQQN⋅所以PHJ共线，从而STHJP五点共线。CN另一方面，联结PI，分别交QB、QD于H′、J′，由完全四边形的调和性可知，QAHB′为调和点列，QCJD′为调和点列，于是H与H′重合，J与J′重合，故HJP三点共线，所以得到S、T、H、J、I、P六点共线。为了研究极点与极线的其他性质，我们找到了一些特殊情况，试图在特殊情况中得出极点极线的某些普通的性质。我们试着在⊙O