2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质学案新人教B版选修2_1.doc

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1、2．2.2　椭圆的几何性质　1.了解研究椭圆几何性质的思想方法．　2.掌握椭圆的简单几何性质．　3.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．1．椭圆的简单几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0，0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

2、F1F2

3、＝2c顶点A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)轴长长轴

4、A1A2

5、

6、＝2a，短轴

7、B1B2

8、＝2b离心率e＝∈(0，1)2.离心率对椭圆扁平程度的影响由a2＝b2＋c2，a>0，b>0得＝，故当椭圆的离心率越趋近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越趋近于0，则椭圆越趋近于圆．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．(　　)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　　)(3)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)A．(－1，0)，(1，0)13B．(－6，0)，(6，0)C

9、．(－，0)(，0)D．(0，)，(0，－)答案：D3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)A．　　　　　　　　　B．C．D．答案：A4．设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案：[－5，5]　椭圆的简单几何性质　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【解】　将椭圆方程变形为＋＝1，所以a＝3，b＝2，所以c＝＝＝.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝2；焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2

10、)；离心率e＝＝.　将本例中椭圆方程改为9x2＋4y2＝36，结果又将如何？解：因为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0，±3)，(±2，0)，焦点坐标为(0，±)．长轴长，焦距，离心率分别为6，2，.用标准方程研究椭圆几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．13(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．[注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．　　1.对椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)和椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的几何性质的表述正确的是(　

11、　)A．范围相同B．顶点坐标相同C．焦点坐标相同D．离心率相同解析：选D．椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c，0)，(c，0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b，0)，(b，0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，只有离心率相同．2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：(1)

12、当0＜m＜4时，长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m＞4时，长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．　利用椭圆的几何性质求标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.13【解】　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，所以a＝3.又

13、e＝＝，所以c＝2.所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3，0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且

14、OF

15、＝c，

16、A1A2

17、＝2b，所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2

18、，b2的值；③写出标准方程．　　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过点(3，0)，离心率e＝.解：