高等数学同济版第八章习题.ppt

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1、11、区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域．（2）区域2（3）聚点（4）n维空间32、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．43、多元函数的极限5说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算65、多元函数的连续性7在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、

2、多元连续函数的性质87、偏导数概念91011８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.12９、全微分概念13多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导沿任意方向的方向导数存在1410、复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.151611、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.17隐函数的求导公式12、隐函数的求导法则181920212213、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面23(２)曲面的切平面与

3、法线切平面方程为法线方程为2414、方向导数记为25三元函数方向导数的定义定理　如果函数在点那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有是可微分的，26梯度的概念27梯度与方向导数的关系2815、多元函数的极值定义29多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的驻点.303132条件极值：对自变量有附加条件的极值．33典型例题1、求极限法一原式法二令则,原式法三令则实际上若令则原式所以极限不存在！前面三法均不正确,时，下列算法是否正确?原式343536解3738397、证明:提示:利用在(0,0)连续知

4、在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.由偏导数定义：407、证明：在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.而当时,f在点(0,0)不可微!418、解4243解444510、设其中f与F分别解法1.方程两边对x求导,得具有一阶连续导数或偏导数,求46解法2.,求方程两边求微分,得化简消去即可得4711.设具有二阶连续偏导数,且求解:48解12、.,0),(,sin,0),,(),,,(2dxduzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设¹¶¶===jjj49于是可得,50解13、51525354是极大值点不

5、是极值点5515、解分析:56得575816、在第一卦限内作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标.解:设切点为则切平面的法向量为切平面方程为即在三坐标轴上的截距59例16.在第一卦限内作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标.问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数60令由实际意义可知为所求切点.61解626364