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1、素数一．实验解读如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则称该数为素数，否则称为合数。每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算术基本定理。Mersenne数与Fermat数是两种具有特殊结构的数。Mn=2^n-1，Fn=2^(2^n)+1。如果将素数在数轴上标出来，会发现素数的分布很不规则。我们需做实验进一步观察随着整数范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？关于素数还存在许许多多富于挑战性的问题，如猜想；大整数的素因子分解；完全数；孪生素数猜想；青一色数的素数二．实验思路1.素数的判别与
2、个数在大于1的自然数中，只能被1和它本身整除的数称为素数。规定Nn=p1p2......pn+1，当n=1,...,20时判断Nn是否是素数，如果不是，那么Nn能不能表示成几个素因子相乘的形式。改变n的取值范围，观察得出结论。根据以上的结果，猜测素数是否有无穷多个，并给出相关的证明。2素数表的构造用Eratosthenes筛法和试除法列出1000内所有的素数，比较哪种方法所用的时间比较少。它们的原理为：Eratosthenes筛法的基本原理，将自然数列从2开始按顺序排列至某一整数N，首先，从上述数列中划除所有2的倍数（不包括2），在剩下的数中，除2外
3、最小的是3.接着，从数列中划除所有3的倍数（不包括3），然后在剩下的数中，再划去5的倍数······这个过程一直进行下去，则最后剩下的数就是不超过N的所有素数。试除法的基本原理：假设我们已经知道前n个素数p1=2,p2=3,...,pn，为找下个素数，我们从pn+2开始依次检验每一个整数N，看是否能被某一个pi(i=1,2,...,n)整除，若N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数pn+1。为了提高效率我们只需要用不超过N^(1/2)的素数去除就可以了.3素数的判别公式对n=2,3,…,100中不同的数,观察m^(n-1)被n整除
4、所得的余数。将m的值固定，变化n的值为2，3，……100取m=2，观察2^(n-1)被n整除所得的余数取m=3，观察3^(n-1)被n整除所得的余数取m=4，观察4^(n-1)被n整除所得的余数………如果我们固定的是n的取值，变化m的值，那么我们得出的结果又会怎样？取n=2，m=2,3,4,……，20，观察m^(2-1)被2整除所得的余数取n=3,m=2,3,……，20，观察m^(3-1)被3整除所得的余数取n=5,m=2,3,……，20，观察m^(5-1)被5整除所得的余数得出一般性结论，。Mersenne数的素性判别：形如2^n-1的数称为Mer
5、senne数，通过Mersenne数我们可以研究数论中的相关性质。观察并考虑Mersenne数与n的关系，得出一般性的结论，4.生成素数的公式Fermat数：我们把形如+1表示出来的数称为Fermat数。Fermat数是否都是素数？在程序中增大n的值，很容易知道当n变大到一个特定的值时，Fermat数不再是素数。既然Fermat数不能作为素数的生成公式，那么能不能寻求一个整系数单变量多项式，使得它能生出所有的素数。首先考虑一次函数，显然是不行的。再考虑二次多项式，如：f(n)=+n+41，f(n)=-79n+1061，f(n)=6+6n+31，观察是
6、否无论n如何变化，f(n)都是素数。若不是，再改变多项式的次数，观察得出的结果有什么不同。若单变量整系数多项式不能生成所有的素数，那么多变量整系数多项式呢？判断以上的f(n,m)是否生成的均是素数，它们之间有什么规律？5.素数的分布在上面的实验中我们已经知道了素数是无穷多个的，而且素数的生成公式并不是很明了，但是它的分布会不会具有什么样的规律呢？实验中，用表示不超过n的素数的个数，表示区间[m,n]内素数的个数，再计算﹑﹑以及﹑﹑﹑。从计算结果看，随着范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？进一步，选取一些更长的区间，做同样的实验。将这些点画在图中，
7、从图中能更清晰的看出素数的分布情况。换一个角度考虑，从两个相邻素数间距的大小同样也可以看出素数的分布，这时我们还可以发现一些更有趣的规律。先求出1000以内的所有相邻素数的间距，并将点以（，）的形式画在直角坐标系中，观察图像的特点；增大n的值，再在另一个图中画出，从这些点的分布可以看出素数的间隔值的某些特征，以及它们的重复次数的多少，我们还发现：在增大N的值的同时，图中的点也会随之变高，也就是说最大间隔值在变化。6.用函数对素数的个数进行拟合用函数对素数的个数进行拟合。先进行线性拟合，选取2到1000中所有的素数进行拟合，再改变拟合的多项式的次数，比
8、较拟合效果。将点（n,）标在平面坐标系中,并且用折线把这些点连接起来，观察的变化趋势，然后在程序中增大N的值
