用导数法求函数最值.doc

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1、用导数法求函数最值中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。O最大极小(最小)极小极小极大极大极大xyab设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：(1)求在内的极值；(2)将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。应注意：（1）的极值是局部概念，而最大

2、(小)是值则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示:（2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。（3）可利用函数的单调性求在区间上的最值，若在[a,b]上单调增加，则的最大值为，最小值为；若在[a,b]上单调减少，则为函数最大值，为最小值。例1：求函数在上的最大值与最小值。解：由得令解得，列表讨论如下：(-2，-1)(,)1(1,2)+－+-极大极小39又因为当时=3当时=而函数在两个端点的函数值分别为，39，因此函数的最大值为39，最小值为例2：(1)求函数在闭

3、区间最小值及上的最大值。(2)求函数的最大值。解：(1)对于当时，，所以函数在区间上为减函数，∴函数在区间上的最小值在处取得，最小值是，当时，函数有两个极值点，而区间两个端点处的函数值为，∴函数在上的最大值在处取得，最大值为(1)对于函数由，得；，得，从而在上是增函数，在上是减函数，故当时，取最大值，对于，我们只要检验与，函数值，故函数的最大值为147评注：(1)求闭区间上可微函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不再判断，只须直接与端点的函数值比较即可获得(2)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值。