高中数学《函数与导数》教学设计.doc

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1、《函数与导数》§2.8　函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根

2、．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)(2)函数y＝f(

3、x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　×　)(5)函数y＝2sinx－1的零点有无数多个．(　√　)(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1

4、)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案　A解析　由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.2．(2013·天津)函数f(x)＝2x

5、log0.5x

6、－1的零点个数为(　　)A．

7、1B．2C．3D．4答案　B解析　当01时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝x，由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3．(2014·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(

8、x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}答案　D解析　令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－

9、2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．4．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N＋)，则k的值为________．答案　3解析　由题意知，当x>1时，f(x)单调递减，因为f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3.题型一　函数零点的判断和求解例1　(1)设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)函数f(x)＝的零点个数是_______

10、_．答案　(1)C　(2)3解析　(1)设f(x)＝lnx＋x－4，∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，∴x0∈(2,3)．(2)当x>0时：作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，x>0时，f(x)有两个零点；当x<0时，由f(x)＝0得x＝－，综上，f(x)有三个零点．思维