高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1 导数与函数的单调性学案 北师大版选修.doc

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1、4.1．1　导数与函数的单调性课标解读1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法，并能灵活运用．(重点、难点)3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)导数与函数的单调性【问题导思】　函数f(x)＝x2－2x－2的图像如图所示：(1)当x0∈(－∞，1)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率f′(x0)大于零还是小于零？(2)函数f(x)＝x2－2x－2在(－∞，1)上的单调性如何？【提示】　(1)小于零；(2)是减少的．导函数的符号与函数的单调性之间的关系

2、如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的．如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．利用导数判断单调性　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)；(2)f(x)＝－x3＋3x2.【思路探究】　先求出函数f(x)的导数，再令导数大于或小于0，解不等式，最后结合导函数的符号与函数的单调性之间的关系来求函数的单调区间．【自主解答】　(1)f′(x)＝cosx－1，∵x∈(0，π)，∴cosx∈(－1，1)，∴f′(x

3、)<0恒成立，即函数f(x)在(0，π)上是减少的．故函数f(x)的递减区间是(0，π)．(2)f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当f′(x)>0时，02，因此，函数f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．1.若函数的单调区间不止一个，则在写这些区间时，应该用逗号分开或者用“及”、“和”连接，切忌用并集符号或者“或”连接，如本题第(2)小题的递减区间不能写成(－∞，0)∪(2，＋∞)．2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义

4、域．(2)求导数f′(x)．(3)确定f′(x)>0(或f′(x)<0)时相应的x的范围：当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增加的；当f′(x)<0时，f′(x)在相应的区间上是减少的．　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋8；(2)f(x)＝3x2－2lnx.【解】　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4x2－4x＝4x(x－1)，令f′(x)>0，得x<0或x>1，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)；令f′(x)<0，得0

5、域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·>0，∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，∵x>0，∴0

6、即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.∴f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数．∴a≤0.即a的取值范围(－∞，0]1.要验证f′(x)＝0的情况．2.已知函数的单调性求参数取值范围的思路：函数在区间[a，b]上是增加的(减少的)转化成→f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立问题→利用分离参数法或函数性质求解不等式恒成立问题→注意对等号单独验证．　将本例中的条件“在(－∞，＋∞)上是增加的”变为“在(1，2)上是增加的”，求实数a的取值范围．【解】　因为f′(x)＝3x2－a，∴f(x)在(1，2)上是增加的，

7、∴f′(x)＝3x2－a≥0在(1，2)上恒成立，即a≤3x2在(1，2)上恒成立．∵3x2≥3，∴a≤3，即a的范围为(－∞，3]．利用函数单调性证明不等式　当x>2时，求证：x－1>lnx.【思路探究】　可设f(x)＝x－1－lnx通过f(x)的单调性证明f(x)>0.【自主解答】　设f(x)＝x－1－lnx(x>2)，则f′(x)＝1－＝.∵x>2，∴f′(x)>0.∴当x>2，时，f(x)＝x－1－lnx>f(2)＝1－ln2>1－lne＝0.∴f(x)>0，即x－1－lnx>0，∴x－1>lnx(x>2)．1.本题关键是构造函数f(x)

8、，借助函数的单调性来证明不等式．2.利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)．(2)求导：F′(x)＝f