高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教学案 北师大版选修.doc

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1、§1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念2．复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然RC.复数的相等问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋bi和c＋di相等吗？提示：相等．问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.

2、复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以．问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量＝(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系．问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有何对应关系？提示：一一对应．1．复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴

3、．(2)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．这是复数的几何意义．一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量＝(a，b)是一一对应的．2．复数的模设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离

4、OZ

5、叫作复数z的模或绝对值，记作

6、z

7、，显然，

8、z

9、＝.1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实

10、数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1]　复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？[思路点拨]　分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析]　(1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．(3)当即m＝2时，z为纯虚数．[一点通]　(1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点．(2)对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，

11、勿忘其虚部必须不为零．1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．答案：B2．若复数z＝(x2－1)＋i为纯虚数，则实数x的值为(　　)A．－1　　　　　　　　　　B．0C．1D.－1或1解析：由复数z＝(x2－1)＋i为纯虚数得解得x＝－1.答案：A复数的相等[例2]　(1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；(2)设z1＝

12、1＋sinθ－icosθ，z2＝＋(cosθ－2)i.若z1＝z2，求θ.[思路点拨]　先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析]　(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则θ＝2kπ(k∈Z)．[一点通]　(1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想．(2)注意(1)小题的条件x，y∈R，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设x＝bi(b∈R且b≠0)，然后再根据复数相等求相

13、应的x，y.3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝(　　)A．0B．2C.D.5解析：由题意得则a2＋b2＝5.答案：D4．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝(　　)A.B.iC．－D.－i解析：因为关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，即x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0⇔x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0⇔⇒m＝，故选A.答案：A复数的几何意义[例3]　实数a取什么值时，复平面