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《高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积(三)学案 苏教版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4 向量的数量积(三)[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标表示有何区别？答 若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．你能用向量法推导两点间距离公式
2、
3、＝吗
4、？答 ＝(x2－x1，y2－y1)，∴·＝2＝
5、
6、2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，即
7、
8、＝.[预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于对应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则
9、a
10、＝.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
11、
12、＝.4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a
13、与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.要点一 向量数量积的坐标运算例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.解 (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．跟踪演练1 已知
14、向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．要点二
15、两向量的夹角例2 已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求使·取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.解 (1)∵点C是直线OP上的一点，∴向量与共线，设＝t(t∈R)，则＝t(2,1)＝(2t，t)，∴＝－＝(1－2t,7－t)，＝－＝(5－2t,1－t)，∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．(2)由(1)知＝(4,2)，∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，∴
16、
17、＝，
18、
19、＝，·＝－3－5＝
20、－8.∴cos∠ACB＝＝－.规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及
21、a＋b
22、的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值．解 (1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
23、a＋b
24、＝＝＝.(2)由a·b＝
25、a
26、
27、b
28、cosθ，∴cosθ＝＝＝.要点三 向量垂直的坐标
29、表示例3 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求
30、
31、与点D的坐标．解 设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即与共线，∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得∴
32、
33、＝＝，即
34、
35、＝，点D的坐标为(1,1)．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方
