高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积(二)学案 苏教版必修.doc

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1、2．4　向量的数量积(二)[学习目标]　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[知识链接]1．向量数乘的运算律有哪些？答　(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[预习导引]1．向

2、量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．2．向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝

3、a

4、cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝

5、a

6、2或

7、a

8、＝；(4)cos〈a，b〉＝；(5)

9、a·b

10、≤

11、a

12、

13、b

14、.要点一　向量数量积运算律有关概念例1　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b

15、·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．答案　④解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．规律方法　向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0

16、并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．跟踪演练1　设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③

17、a

18、－

19、b

20、<

21、a－b

22、；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9

23、a

24、2－4

25、b

26、2.其中正确的序号是________．答案　①③④解析　根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0

27、，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以

28、a

29、、

30、b

31、、

32、a－b

33、组成三角形三边，∴

34、a

35、－

36、b

37、<

38、a－b

39、成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.要点二　向量数量积运算律综合应用例2　已知

40、a

41、＝6，

42、b

43、＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解　(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝

44、a

45、2－a·b－6

46、b

47、2＝

48、a

49、2－

50、a

51、·

52、b

53、cosθ－6

54、b

55、2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.规律方法　熟练掌握两向量的

56、数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键．计算形如(ma＋nb)·(pa＋qb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解．跟踪演练2　已知向量a与b的夹角为120°，且

57、a

58、＝4，

59、b

60、＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)

61、3a－4b

62、.解　(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2

63、a

64、2＋5a·b－3

65、b

66、2＝2×16＋5×4×2×cos120°－3×4＝0.(2)

67、3a－4b

68、2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9

69、×16－24×(－4)＋16×4＝16×19∴

70、3a－4b

71、＝4.例3　已知

72、a

73、＝3，

74、b

75、＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．解　a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.∵

76、a

77、＝3，

78、b

79、＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±.当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直．规律方法　向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪

80、演练3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？解　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为{k

81、k>0且k≠1}．1．已知

82、a

83、＝2，

84、b