高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积学案苏教版必修4

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1、2.4向量的数量积典题精讲例1若向量a,b,c满足a+b+c=0，且

2、a

3、=3,

4、b

5、=1,

6、c

7、=4,则a·b+b·c+a·c=_____________.思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式求解.方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.∴2(a·b+b·c+a·c)=-（a2+b2+c2）=-（

8、a

9、2+

10、b

11、2+

12、c

13、2）=-（32+12+42）=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.

14、方法二：根据已知条件可知

15、c

16、=

17、a

18、+

19、b

20、，c=-a-b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-13绿色通道：由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：a2=｜a｜2，(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d,(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.变式训练已知

21、a

22、=5,

23、b

24、=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相

25、垂直?思路分析：(a+mb)⊥(a-mb)(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0,∴a2-m2b2=0.∵

26、a

27、=5,

28、b

29、=12，∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.∴m=±.∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.例2（2006福建高考卷，理11）已知

30、

31、=1,

32、

33、=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R)，则等于…()A.B.3C.D.思路解析：本题可

34、以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解，向量是高中数学新增内容，所以它也成为高考重点考查的内容之一.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).设=λ(cos30°,sin30°)=(λ,λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(λ,λ)=(m,n)方法二：=(m+n)2=m22+n22=m2+3n2，∴

35、

36、=.由已知,得∠BOC=60°，在等式=m+n(m、n∈R)两端同乘以，得·=m2，∴m=

37、

38、·

39、

40、co

41、s30°=m2=9n2.由题设知m>0,n>0,∴=3.答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练(2006福建高考卷，文9)已知向量a与b的夹角为120°，

42、a

43、=3,

44、a+b

45、=,则

46、b

47、等于()A.5B.4C.3D.1思路解析：向量a与b的夹角为120°，

48、a

49、=3,

50、a+b

51、=,a·b=

52、a

53、·

54、b

55、·cos120°=

56、b

57、，

58、a+b

59、2=

60、a

61、2+2a·b+

62、b

63、2，∴13=9-3

64、b

65、+

66、b

67、2，则

68、b

69、=-1(舍去)或

70、

71、b

72、=4.答案：B例3(2006福建高考卷，理12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：

73、

74、AB

75、

76、=

77、x2-x1

78、+

79、y2-y1

80、.给出下列三种说法：(1)若点C在线段AB上，则

81、

82、AC

83、

84、+

85、

86、CB

87、

88、=

89、

90、AB

91、

92、;(2)在△ABC中，若∠C=90°,则

93、

94、AC

95、

96、2+

97、

98、CB

99、

100、2=

101、

102、AB

103、

104、2;(3)在△ABC中，

105、

106、AC

107、

108、+

109、

110、CB

111、

112、>

113、

114、AB

115、

116、.其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其

117、坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定各说法的真假.设C(x,y),若点C在线段AB上，则=λ·,λ>0，得C()，则

118、

119、AC

120、

121、=

122、x1-

123、+

124、y1-

125、=(

126、x1-x2

127、+

128、y1-y2

129、)，

130、

131、CB

132、

133、=(

134、x1-x2

135、+

136、y1-y2

137、)，得

138、

139、AC

140、

141、+

142、

143、CB

144、

145、=

146、

147、AB

148、

149、.∴(1)正确.在△ABC中，若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0),A(0,2),则

150、

151、AC

152、

153、=2,

154、

155、BC

156、

157、=1,

158、

159、AB

160、

161、=3,但

162、

163、AC

164、

165、2+

166、

167、CB

168、

169、2≠

170、

171、AB

172、

173、2且

174、

175、AC

176、

177、+

178、

179、CB

180、

181、=

182、

183、AB

184、

185、

186、.∴(2)与(3)都不正确.答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算(操作)上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练(2006陕西高考卷，理9)已知非零向量与满足()·=0且=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形