高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积导学案苏教版必修4

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1、2.4向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】已知

2、a

3、=4，

4、b

5、=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°，分别求a·b.思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知

6、a

7、与

8、b

9、，a与b的夹角，由定义可求a·b.解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,a·b=

10、a

11、

12、b

13、cos0°=4×3×1=12;若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°,a·b=

14、a

15、

16、b

17、cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a⊥b时,a与b的夹角为90°,a·b=

18、a

19、·

20、b

21、cos90°=0,(3)当a与b的夹角θ=

22、60°时，a·b=

23、a

24、

25、b

26、cos60°=4×3×=6.温馨提示利用定义计算a与b的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a∥b时，a与b的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知

27、a

28、=,

29、b

30、=3，a与b的夹角为45°,求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a+λb与λa+b的夹角为θ.则cosθ=＞0,即(a+λb)·(λa+b)＞0,展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0.∵

31、a

32、=2,

33、b

34、=3,a·b=

35、a

36、

37、b

38、cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11

39、λ+3＞0.λ＜或λ＞.另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】已知

40、a

41、=5，

42、b

43、=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b

44、2.解：（1）a·b=

45、a

46、

47、b

48、cos120°=5×4×(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=

49、a

50、2+2a·b+

51、b

52、2=25-2×10+16=21;(3)a2-b2=

53、a

54、2-

55、b

56、2=25-16=9;(4)(2a-b)·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2=2

57、a

58、2+5a·b-3

59、b

60、2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2，（a+b）·（a-b）=a2-b2，（a+

61、b+c）=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.因此，有的同学会相当然的用（a·b）·c=a·（b·c）,这是错误的.各个击破类题演练1已知

62、a

63、=2，

64、b

65、=5，且=45°,求a·b.解：由数量积的定义，a、b=

66、a

67、

68、b

69、cos=2×5×cos45°=.变式提升1已知△ABC中，a=5,b=8，∠C=60°,求·.解：因为

70、

71、=a=5,

72、

73、=b=8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=

74、

75、

76、

77、·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a=(m+1,3),b=(1,m-1)，且a与b的夹角为钝角.若（2a+

78、b）与(a-3b)垂直，求a与b夹角的余弦.解析：∵(2a+b)⊥(a-3b),∴2a2-5a·b-3b2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a与b的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a与b夹角为θ,则cosθ=.变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a、b满足

79、a

80、=1，

81、b

82、=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（）A.B.C.D.解析：cos=.∴a与b的夹角为，故选C.答案：C类题演练3已知

83、a

84、=

85、b

86、=5，=,求

87、a+b

88、，

89、a-b

90、.解：因为a

91、2=

92、a

93、2=25，b2=

94、b

95、2=25，a·b=

96、a

97、

98、b

99、cos=5×5cos=.所以

100、a+b

101、=（a+b）2=同样可求

102、a-b

103、=变式提升3（1）若向量a与b夹角为30°，且

104、a

105、=，

106、b

107、=1，则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cosθ=，由两向量的数量积和模求夹角余弦值.解：∵p·q=（a+b）·（a-b）=a2-b2=3-1=2，又∵

108、p

109、=

110、a+b

111、=,

112、q

113、=

114、a-b

115、=∴cosθ=.答案：（2）