高中数学 第一章 坐标系 1.5.2 球坐标系学案 新人教B版选修.doc

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1、1．5.2　球坐标系[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与0的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.2．直角坐标与球坐标的转化空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为[小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的

2、第二个坐标θ.将球坐标化为直角坐标[例1]　已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨]　本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析]　∵M的球坐标为，∴r＝5，φ＝，θ＝.由变换公式得故它的直角坐标为.已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2，y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2，z＝rcosφ＝4cos＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).将直角

3、坐标化为球坐标[例2]　设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．[思路点拨]　本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析]　由坐标变换公式，可得r＝＝＝2.由rcosφ＝z＝，得cosφ＝＝，φ＝.又tanθ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在

4、的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由rcosφ＝z＝－得cosφ＝－，φ＝.又tanθ＝＝(r>0，y>0)，得θ＝，∴M的球坐标为.球坐标系的应用[例3]　在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨]　本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析]　如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1

5、OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，

6、OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为(　　)A．－　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选A　∵φ＝，∴OP与OP0之间的夹角为＝.2．点M的球坐标为(r，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为(　　)A．(－r，－φ，－θ)B．(r，π－φ，π－θ)C．(r，π＋φ，θ)D．(r，π－φ，π＋θ)解

7、析：选D　设点M的直角坐标为(x，y，z)，则点M关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x，－y，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为所以可得即M′的球坐标为(r，π－φ，π＋θ)．3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)A．(1,0,0)B．(－1，－1,0)C．(0，－1,0)D．(－1,0,0)解析：选D　x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，y＝rsinφsinθ＝1·sinsinπ＝0，z＝rcosφ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为