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《2012年中考数学 代数证明与恒等变形复习教案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、代数证明与恒等变形代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明常用的方法有：(1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，．条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证
2、明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例1：设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2：设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
3、=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2xz-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.例3：设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c,则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即(m-a)3+
4、(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例4：若,试比较A、B的大小.解设则.∵2x＞y∴2x-y＞0,又y＞0,可知＞0∴A＞B.10用心爱心专心例5：求最大的正整数n，使得n3+100能被n+10整除．分析：此题可以运用整除法或两个整式整除的问题转化为一个分式问题加以解决．解：=＝n2-10n+100-要使n+10整除n3+100，必须且只需n+10整除900，又因为n取最大值，所以n+10=900，从而符合要求的正整数n的最大值为890．评注：对于分子的次数高于或等于分母的次
5、数的分式，可化为整式部分与分式部分的和．例6：已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值.解：由条件知(a+b+c)(=0∴a+b+c=0或=0当=0时，=0∴ab+bc+ac=0∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1∴a+b+c=±1∴a+b+c=0或1或-1例7：已知求证:.证明10用心爱心专心例8：设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故
6、19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得x=3.y=10.∴d-b=y3-x5=757.练习：（1）已知a2+c2=2b2,求证（2）求证：（3）求证：．例9：已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3,求证：a2001+b2001=c2001+d2001.解：由a3+b3=c3+d3得：(a+b)(a2-ab+b2)=(c+d)(c2-cd+d2)∵a+b=c+d，则有(1)若a+b=c+d=0，则a=-b，c=-d，从而a2001+b2001=c2001+d2001
7、=0(2)若a+b=c+d≠0，则a2-ab+b2=c2-cd+d2，∴(a+b)2-3ab=(c+d)2-3cd，从而ab=cd∴(a+b)2-4ab=(c+d)2-4cd，∴(a-b)2=(c-d)2，∴a-b=±(c-d)可得a=b=c=d，从而a2001+b2001=c2001+d2001例10：有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用和，分别表示第i(i=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：．解：由于每支球队都要进行18-1
8、=17场比赛，则对于第i支球队有ai+bi=17,i=1,2,3,……18；由于比赛无平局，故所有参赛队的胜与负的总局数相等，即a1+a2+…+a18=b1+b2+…+b18由（a12+a22+…+a182）-（b12+b22+…+b182）=(a12-b12)+(a22-b22)+…+(a182-b182)=17×[(a1+a2+…+a18)-(b1+b2+…+b18)]=010用心爱心专心得例11：已知，且．求证：．思路点
