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1、定义:形如积分称为f(z)的对数残数主要作用:推出辅角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.6.3.1对数留数对数留数因此而得名证如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理6.4(1)设a为f(z)的n级零点(极点),(2)设b为f(z)的m级极点a必为函数的一级极点,且必为函数的一级极点,且其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是(2)如b为f(z)m级极点在点b的去心邻域内有在点a的邻域内解析,的一级极点,
2、且a必为h(z)在点b的邻域内解析,且h(b)≠0.在点b解析的一级极点,且故b为定理6.9设C是一条围线,f(z)合条件:(6.26)证由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内部的不同零点,其级数相应地为nk;bj(j=1,2,…q)为f(z)在C内的不同极点,其级数相(1)f(z)在C内部除可能有极点外是解析的;(2)f(z)在C上解析切不为零则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数称为f(z)在C内是亚纯的(2)可改为f
3、(z)在C上连续且不为零特别注意几级算几个.在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的.故由残数定理6.1,及引理6.4得应地为mj,则根据引理(6.4)知,例计算积分∆Cargf(z)表示z沿C之正向绕行一周时argf(z)的改变量(6.27)特别说来,如f(z)在围线C上及C之内部均解析,且f(z)在C上不为零,则(6.28)6.3.2辐角原理(2)f(z)在C内是亚纯的(3)f(z)在C上连续且不为零(1)C是一条围线辅角原理例6.21设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4
4、),C:
5、z
6、=3,试验证辐角原理例6.22设n次多项式p(z)=a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0)在虚轴上没有零点,证明它的全部零点在左半平面Rez<0内的充要条件是:RiRiCRROxyR定理6.10(儒歇(Rouche)定理)证由假设f(z)与f(z)+(z)在C内部解析,且连续到C,在C上有
7、f(z)
8、>0,及6.3.3儒歇(Rouche)定理设C是一条围线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,
9、f(z)
10、>
11、(z)
12、f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样
13、多的零点,即(6.30)由关系式(6.31)这样一来,这两个函数f(z)与f(z)+(z)都满足定理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是由(6.28),下面只须证明C0z图6.14根据条件(2),当z沿C变动时将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,借助函数201即是说,点不会围着原点=0绕行.全在圆周
14、-1
15、=1的内部.推论1:设n次多项式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0)满足条件:
16、at
17、>
18、a0
19、+…+
20、at-1
21、+
22、at+1+…+
23、an
24、则p(z)在单位圆
25、z
26、<1内有n-t
27、个零点证:令f(z)=atzn-t,(z)=a0zn+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1+…+an则f(z)与(z)均在闭单位圆域
28、z
29、≤1上解析,而且在单位圆周
30、z
31、=1上有:
32、f(z)
33、=
34、at
35、>
36、a0
37、+…+
38、at-1
39、+
40、at+1+…+
41、an
42、≥
43、(z)
44、由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多的零点,即为n-t个推论2:n次方程(p(z)=)a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0)在复数域内有且仅有n个根(几重根就算几个根)1.首先证明存在R>0,有n个根R方程在圆
45、z
46、
47、48、z0
49、=R0≥R,均有
50、p(z0)
51、>0无根证明1.令,f(z)=a0zn,(z)=a1zn-1+…+an=0则当
52、z
53、=R时,
54、(z)
55、≤
56、a1zn-1
57、+…+
58、an
59、=
60、a1
61、Rn-1+…+
62、an-1
63、R+
64、an
65、≤(
66、a1
67、+…+
68、an-1
69、+
70、an
71、)Rn-1<
72、a0
73、Rn=
74、f(z)
75、取R>1限定
76、a1
77、+…+
78、an
79、≤
80、a0
81、R所以只要取有:当
82、z
83、=R时,
84、f(z)
85、>
86、(z)
87、,f(z),(z)在
88、z
89、≤R上解析N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n
90、即:N(p(z),C)=n2.z0:
91、z0
92、=R0≥R,需证:
93、p(z0)
94、>0
95、(z0)
96、
97、a1z0n-1
98、+…+
99、an
100、=
101、a1
102、R0n-1+…+
103、an-1
104、R0+
105、an
106、(
107、a1
108、+…+
109、an