集合的概念和表示法-集合与关系-离散数学.ppt

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1、集合的概念和表示法1一、集合的概念集合（SET）：即是由一些确定的彼此不同的客体（事物）汇集到一起组成一个整体，称为集合。讨论：客体：泛指一切，可以是具体的、抽象的。元素(element，成员)：即组成集合的客体，称之为元素。二、集合的记法通常用带(不带)标号的大写字母A、B、C、...、A1、B1、C1、...、X、Y、Z、...表示集合；通常用带（不带）标号的小写字母a、b、c、...、a1、b1、c1、...、x、y、z、...表示元素。2固定的符号0,1,2,…自然数集合N…,-2,-1,0,1,2

2、,…整数集合Ip/q,p,q是整数，且q≠0有理数集合Q实数集合R复数集合C3说明：集合中的元素都是不同的，凡是相同的元素，均视为同一个元素；{1,1,2}={1,2}一旦给定了集合A，对于任意客体a，可以准确地判定a是否在A中。集合中的元素是没有顺序的。{2,1}={1,2}集合的特性1、互异性－2、确定性－3、无序性－4、集合中的元素可以是集合。如S={a,{1,2},p,{q}}以集合为元素的集合称为集合类或集合族。如S={{a},{1,2,3,4}}4三、集合与元素的关系客体a与集合A之间的关系只能

3、是属于和不属于之一。a是集合A的元素或a属于集合A，记为aA，称a是A的成员，A包含a，a在A中。a不是集合A的元素或a不属于集合A，记为aA，或者(aA)，称a不是A的成员，A不包含a，a不在A中。例如，对元素2和自然数集合N，就有2属于N，即2N，对元素-2和自然数集合N，就有-2不属于N，即-2N。有限集：组成集合的元素个数是有限的。

4、A

5、：有限集合A中元素的个数。无限集：组成集合的元素个数是无限的。5四、集合的表示方法集合是由它包含的元素完全确定的，为了表示一个集合，通常有：枚举法（列举

6、法）谓词表示法（隐式法、叙述法）文氏(Venn)图-辅助的集合的表示方法61、枚举法（显式表示法）就是把集合的元素（全部或部分）写在花括号的里面，每个元素仅写一次，不考虑顺序，并用”,”分开。例（1）命题的真假值组成的集合：S={T,F}（2）A＝{a，e，i，o，u}7在使用中，分两种情况：（1）当集合中元素个数有限且较少时，将元素全部写出。例1：设集合A是由绝对值不超过3的整数组成。A={-3,-2,-1,0,1,2,3}（2）当集合A元素的个数无限或有限但个数较多时，不能或不需要一一列举出来，只要写出

7、少数元素，以显示出它的规律。（当规律不明确，不能用此方法）。例2：设集合B是由自然数的平方构成的集合。B={0,1,4,9,16,…,n2,…}适用场景：一个集合仅含有限个元素。一个集合的元素之间有明显关系。82、谓词表示法（隐式法、叙述法）用谓词描述集合中元素的属性，称为谓词表示法（叙述法、隐式法）一般表示方法：A＝{x

8、P(x)}若个体域内，客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。例如：大于10的整数的集合：S={x

9、x∈I∧x>10)}命题的真假值组成的集合：S={F,T}={x

10、x=F∨x=T

11、}适用场景：一个集合含有很多或无穷多个元素；一个集合的元素之间有容易刻画的共同特征。其突出优点是原则上不要求列出集合中全部元素，而只要给出该集合中元素的特性。P(x)是谓词公式，x具有的性质P代表元素9A3、文氏(Venn)图-辅助的集合的表示方法文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法，用一个矩形的内部表示全集，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。文氏图又称韦恩图，用它表示集合间的关系或运算，是一种非常直观的图示集合的工具，文图只起示意作用，不能用以代替严格

12、证明。U10同一个集合可以用不同的表示方法：例方程x2-1=0的所有实数解的集合A；谓词法：A={x

13、xR∧x2-1=0}或A={x

14、x是实数且x2-1=0}枚举法：A={1，-1}11五、集合与集合的关系（一）包含关系（二）相等关系（三）真包含关系12“包含关系”的谓词表示：ABBA(x)(x∈Ax∈B)（一）包含关系例：设A={ADA,BASIC,PASCAL}，B={BASIC,PASCAL,ADA,C,JAVA}定义：A包含在B内，A包含于B，B包含A设A，B是任意两个集合，若A的每

15、个元素都是B的元素，则称A是B的子集(Subset)，也称A包含在B内，B包含A，记作BA或AB，若A不被B所包含，则记作AB。显然，对任意集合A，都有AA。AB13（二）相等关系定义A＝B当且仅当A与B具有相同的元素，否则，AB。即集合A,B中的元素完全相同，称这样的两个集合相等。{1,2,4}={1,4,2}≠{1,{2,4}}定理3-1.1设A和B是任意两个集合，A=BAB且BA。集合相等的