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《关系及其表示法-集合与关系-离散数学.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、关系及其表示法1关系是一个非常普遍的概念,如数值的大于关系、整除关系,人类的父子关系、师生关系、同学关系等。要求:1、理解定义关系定义域(前域)、值域2、掌握关系的表示方法3、熟记特殊的关系4、会计算关系的集合运算21.关系的定义空集或任一序偶的集合,都称为一个二元关系。设A、B是集合,若RA×B,则称R是一个从A到B的二元关系。若RA×A,则称R是A上的二元关系。二元关系简称为关系。R可记作xRy;一、基本概念设R1={<1,2>,},R2={<1,2>,a,b}。则R1是二元关系,R2不是二元关系,只是一个集合。举例关系是以序偶为元素的集合。R可
2、记作xRy定义1:定义2:R,xRy,表示x和y具有关系R。R,表示x和y不具有关系R。3注意:关系集合满足以下条件之一:(1)集合非空,且它的元素都是序偶;(2)集合是空集,即空集也可称作关系。序偶是讲究次序的,关系也是有序的。即∈R未必有∈R,x与y有关系R,未必y与x有关系R。例:甲与乙有父子关系,则乙与甲肯定没有父子关系。由于任何A×B的子集都是一个二元关系,而A×B共有2
3、A
4、╳
5、B
6、个不同的子集。因此,从A到B不同的关系共有2
7、A
8、╳
9、B
10、个。1.2.3.4例3-5.1①A={0,1},B={x,y,z},则R1={<0,x>,<1
11、,z>},R2=A×B,R3=等都是从A到B的二元关系;R4={<0,0>}和R3同时也是A上的二元关系。②A为整数集合,则R={
12、x能整除y(即x
13、y),x,yA}为A上的整除关系。如:<1,3>,<2,8>,<4,80>,<7,84>等等。③父子关系:{
14、x人类,y人类,且x是y的父亲(y是x的儿子)}5④有王、张、李、赵是某校的老师,该校有三门课程:程序设计、离散数学和英语,已知王可以教程序设计和离散数学,张可以教程序设计和英语,李可以教离散数学,赵可以教英语,若记A={王,张,李,赵},B={程序设计,离散数学,英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系
15、就可以用由A到B的一个关系R中的序偶来表示。R={<王,程序设计>,<王,离散数学>,<张,程序设计>,<张,英语>,<李,离散数学>,<赵,英语>}62.三个特殊关系(1)空关系Φ:因为ΦA×B,(或ΦA×A),所以Φ也是一个从A到B(或A上)的关系,称为空关系。(2)完全关系(全域关系)E:即含有A×B(或A×A)全部序偶的关系,A×B(或A×A)本身也是一个从A到B(或A上)的关系,称为完全关系。(3)A上的恒等关系IA:IAA×A,且IA={
16、x∈A}称为A上的恒等关系。A={1,2,3},则空关系=ΦEA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,
17、2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}。举例7其他常见的关系小于或等于关系:LA={
18、x,y∈A∧x≤y},其中AR。整除关系:DA={
19、x,y∈A∧x整除y},其中AZ*Z*是非零整数集包含关系:R={
20、x,y∈A∧xy},其中A是集合族。设A={1,2,3},B={a,b},则(1)LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}(2)令C=ρ(B)={,{a},{b},{a,b}},
21、则C上的包含关系是R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}举例8二、关系的表示方法1.枚举法即将关系中所有序偶一一列举出,写在大括号内。如R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}。2.谓词公式法即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间的关系。如“<”={
22、x∈N∧y∈N∧x23、的关系图。⑴从A到B的二元关系R的关系图。⑵A上的二元关系R的关系图。10ABR:⑴A到B二元关系R的关系图设A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},R是A到B二元关系,R的关系图的绘制方法如下:4。3。2。1。。c。b。a①画出m个小圆圈(实心或空心)表示A的元素,再画出n个小圆圈表示B的元素。这些小圆圈叫做关系图的结点。②关系中的序偶ai,bj,画一条从ai到bj的有方向(带箭头)的线。这些有方向的线叫关