关系及其表示法-集合与关系-离散数学.ppt

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1、关系及其表示法1关系是一个非常普遍的概念，如数值的大于关系、整除关系，人类的父子关系、师生关系、同学关系等。要求：1、理解定义关系定义域（前域）、值域2、掌握关系的表示方法3、熟记特殊的关系4、会计算关系的集合运算21.关系的定义空集或任一序偶的集合，都称为一个二元关系。设A、B是集合，若RA×B，则称R是一个从A到B的二元关系。若RA×A，则称R是A上的二元关系。二元关系简称为关系。R可记作xRy；一、基本概念设R1＝{<1,2>,}，R2＝{<1,2>,a,b}。则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合。举例关系是以序偶为元素的集合。R可

2、记作xRy定义1：定义2：R,xRy，表示x和y具有关系R。R，表示x和y不具有关系R。3注意：关系集合满足以下条件之一：(1)集合非空，且它的元素都是序偶；(2)集合是空集，即空集也可称作关系。序偶是讲究次序的，关系也是有序的。即∈R未必有∈R，x与y有关系R，未必y与x有关系R。例：甲与乙有父子关系，则乙与甲肯定没有父子关系。由于任何A×B的子集都是一个二元关系，而A×B共有2

3、A

4、╳

5、B

6、个不同的子集。因此，从A到B不同的关系共有2

7、A

8、╳

9、B

10、个。1.2.3.4例3-5.1①A={0,1}，B={x,y,z}，则R1={<0,x>，<1

11、,z>}，R2=A×B，R3=等都是从A到B的二元关系；R4={<0,0>}和R3同时也是A上的二元关系。②A为整数集合，则R={

12、x能整除y(即x

13、y),x,yA}为A上的整除关系。如：<1,3>,<2,8>,<4,80>,<7,84>等等。③父子关系：{

14、x人类，y人类，且x是y的父亲(y是x的儿子)}5④有王、张、李、赵是某校的老师，该校有三门课程：程序设计、离散数学和英语，已知王可以教程序设计和离散数学，张可以教程序设计和英语，李可以教离散数学，赵可以教英语，若记A={王,张,李,赵}，B={程序设计,离散数学,英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系

15、就可以用由A到B的一个关系R中的序偶来表示。R={<王,程序设计>,<王,离散数学>,<张,程序设计>,<张,英语>,<李,离散数学>,<赵,英语>}62.三个特殊关系（1）空关系Φ：因为ΦA×B，(或ΦA×A)，所以Φ也是一个从A到B(或A上)的关系，称为空关系。（2）完全关系(全域关系)E：即含有A×B(或A×A)全部序偶的关系，A×B(或A×A)本身也是一个从A到B(或A上)的关系，称为完全关系。（3）A上的恒等关系IA：IAA×A,且IA={

16、x∈A}称为A上的恒等关系。A={1,2,3},则空关系=ΦEA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,

17、2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}。举例7其他常见的关系小于或等于关系：LA={

18、x,y∈A∧x≤y}，其中AR。整除关系：DA={

19、x,y∈A∧x整除y}，其中AZ*Z*是非零整数集包含关系：R＝{

20、x,y∈A∧xy},其中A是集合族。设A={1,2,3}，B＝{a,b},则(1)LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}(2)令C=ρ(B)={,{a},{b},{a,b}}，

21、则C上的包含关系是R＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}举例8二、关系的表示方法1.枚举法即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。如R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}。2.谓词公式法即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间的关系。如“<”={

22、x∈N∧y∈N∧x

23、的关系图。⑴从A到B的二元关系R的关系图。⑵A上的二元关系R的关系图。10ABR:⑴A到B二元关系R的关系图设A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，R是A到B二元关系，R的关系图的绘制方法如下：4。3。2。1。。c。b。a①画出m个小圆圈（实心或空心）表示A的元素，再画出n个小圆圈表示B的元素。这些小圆圈叫做关系图的结点。②关系中的序偶ai,bj，画一条从ai到bj的有方向(带箭头)的线。这些有方向的线叫关