离散数学-3-1集合的概念和表示法

《离散数学-3-1集合的概念和表示法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章集合与关系3-1集合的概念和表示法授课人：李朔Email:chn.nj.ls@gmail.com1一、集合的概念集合是不能精确定义的数学基本概念,当我们讨论某一类对象时，就把这一类对象的全体称为集合。这些对象称为集合中元素。元素也是抽象的，无法精确定义，可以认为是存在于世界上的一切客观物体。例如：地球上的人。公园里的花。坐标平面上的点。2一、集合的概念通常用大写字母表示一个集合，例A，B，。用小写字母表示一个集合的元素，例a,b,x,y,。若元素a属于集合A，记作aA,否则记aA。若一个集的元素个数是有限，称有限集，否则称为无限集。有限

2、集合的元素个数称为该集合的基数，集合A的基数记为

3、A

4、。3一、集合的概念本书通常用N表示自然数集（包含0），Z代表整数数集，Q代表有理数集，R代表实数集，C代表复数集。集合的表示通常有二种方法：1）列举法：把集合的元素在花括号内列出例A={a,b,c,d}N={0,1,2,}W={风马牛}Z={3，5，6，9…}（没有规律，所以不能用列举法）4一、集合的概念2）描述法：用谓词概括该集合元素的属性。B={xP(x)}表示B由使P(x)为真的x组成。例：B={xxR3x≤6},C={xx2=1}（={1，-1}）D={y

5、y是教室中所有听课

6、的同学}集合的元素必须是确定的。所谓确定的，是指任何一个对象是不是集合的元素是明确的、确定的，不能模棱两可。即对于集合A，任一元素a，要么a属于A，要么a不属于A，两者必居其一。集合的元素又是能区分的，能区分的是指集合中的元素是互不相同的。如果一个集合中有几个元素相同，算做一个。例如集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合,{a,b},{a,a,b}与{a,a,b,b,b}是相同的集合。集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。集合的元素还可以允许是一个集合，如S=1,2,3,{a},a5二．集合之间的关系

7、集合之间有二种基本关系：1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完全相同，记A=B，否则AB。(P82外延性原理）例{{1,2},4}{1,2,4}{1,3,5}={xx是正奇数}2）子集（Ｐ83定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内，或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。即ABx(xAxB)根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C：1）AA；（自反性）2）AB，BC则AC；(传递性）6二．集合之间的关系定理3-1.1A=BAB且BA证:设A=B，则

8、x(xAxB)与x(xBxA)都为真，故AB且BA。反之，若AB且BA而AB，设某一xA但xB（或xB但xA）这与AB（或BA）矛盾。*本定理结论是我们以后证明两个集合相等的主要判定方法。(互为子集法）定义3-1.2:真子集。A，B为两个集合，若A的每个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内，记AB。即ABx(xAxB)(x)(xBxA)ABABAB例如：ZQ又例如：设A=a，B=a,b，C=a,b,c则AB，BC，A

9、C，但AA7三、空集Ｐ84定义3-1.3不含任何元素的集合称为空集，记为，即={}。Æ=x

10、P(x)∧P(x)其中，P(x)为任意谓词空集Æ是不包含任何元素的集合，所以，

11、Æ

12、=0。注：{}，{}。定理3-1.2对任一个集合A，A。证：设不是A的子集，则必有x而xA，这与的定义矛盾。根据本定理，空集是任意集合的子集，即ÆA；对任意集合A，AA。一般地说，任意集合A至少有两个子集，一个是空集Æ，另一个是它本身A。(称Æ与Ａ为Ａ的平凡子集）推论空集是惟一的。8例：确定下列命题的真假：(a)ÆÆ(b)ÆÆ(c)

13、Æ{Æ}(d)Æ{Æ}(e){a,b}{a,b,c{a,b,c}}(f){a,b}{a,b,c{a,b,c}}(g){a,b}{a,b,c,{a,b}}(h){a,b}{a,b,c,{a,b}}9例：求出下列集合的全部子集：(a){Æ,{Æ}}Æ,{Æ},{{Æ}},{Æ,{Æ}}(b){{a,b},{a,a,b},{b,a,b}}Æ,{{a,b}}10四、全集定义3-1.4全集若在特定条件下考虑的对象均属于E，则称E为全集。全集概念相当于论域。如讨论宇宙万物的集合时一切客体都属于全集。而讨论一个班级，则该班级的全部学生组成了全集。以一个

14、集合的所有子集为元素，可以组成另外一种集合。11五、幂集定义3-1.5给定集合A，由A的所有子集为元素组成的