2018版高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（二）学案 新人教A版必修5.doc

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1、2.2等差数列（二）[学习目标]　1.能根据等差数列的定义推导出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一　等差数列与一次函数1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点．2．公差d与斜率等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝(n≥2，n∈N*)．知识点二　推广的等差数列的通项公式已知等差数列{an}中任意两项am，an，则an＝am＋

2、(n－m)d.(m≤n)思考　已知等差数列{an}中的am和an，如何求d?答案　由{an}的通项公式得an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得an－am＝(n－m)d，∴d＝.知识点三　等差数列的性质1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数　列结　论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之

3、和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….3．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap．思考　等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝________，a7＝________．答案　a2＋a12＝a5＋a9＝26　a7＝13题型一　等差数列的性质及应用例1　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝

4、80，求a11＋a12＋a13的值．解　(1)方法一　根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.方法二　根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝.(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒

5、d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.反思与感悟　解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差基本量的关系完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练1　在等差数列{an}中：(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；(2)若a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则a1＋a20等于________．答案　(1)15　(2)

6、18解析　(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18.题型二　等差数列项的设法及求解例2　已知四个数构成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则又因为是递增数列，所以d>0，所以解得a＝±，d＝，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.反思与感悟　三个数或四

7、个数成等差数列的设法．当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，此时计算量稍大，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量．跟踪训练2　已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解　方法一　设这三个数为a，b，c，则由题意得解得a＝4，b＝6，c＝8.这三个数为4，6，8.方法二　设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得由①得a＝6，代入