2018年高考数学总复习 第六章 不等式 第3讲 基本不等式学案.doc

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1、第3讲　基本不等式：≤最新考纲　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a

2、＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为2.(　　)(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要

3、条件.(　　)解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为－5.(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A.80B.77C.81D.82解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.答案　C3.(2015·福建卷)若直线＋＝1

4、(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)A.2B.3C.4D.5解析　因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.答案　C4.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A.1＋B.1＋C.3D.4解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.答案　C5.

5、(必修5P100A2改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.解析　设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.答案　15　6.(2017·浙江五校联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.解析　∵正数x，y满足x＋y＝1，∴y＝1－x，0

6、2x－1，又0

7、y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).规律方法　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】(1)(2017·丽水模拟)若对

8、任意的x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)函数y＝(x>1)的最小值为________.解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.(2)y＝＝＝＝(x－1)