第六章第3讲基本不等式

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1、第3讲　基本不等式1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)[做一做]1．已知

2、a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．答案：2　1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．2．活用几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R)．3．巧用“拆”“拼

3、”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[做一做]2．“a>0且b>0”是“≥”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．若x>1，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：5__利用基本不等式证明不等式__________　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.[证明]　法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1

4、，∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b时取“＝”．∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，∵a，b为正数，a＋b＝1，∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．∴≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝时等号成立．　在本例条件下，求证＋≥4.证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．∴＋≥4.[规律方法]　利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等

5、式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．　　　1.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．__利用基本不等式求最

6、值(高频考点)______利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)求参数的值或范围．　(1)当0m2＋2m

7、恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2，4)D．(－4，2)扫一扫　进入91导学网(www.91daoxue.com)基本不等式[解析]　(1)∵00，则y＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取到等号，∴ymax＝.(2)由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且

8、仅当＝时取等号．故选D.(3)x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4