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时间:2020-06-22
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1、在现实生活中,我们经常会遇到解决“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题,这些我们统称为“最优化问题”,而这些问题的解决,在数学上大多需要建立数学模型------解决数学问题(求最值)------还原到实际问题中,其中解决数学问题时的求最大、最小值得问题常常利用导数来解决。这就是导数在解决实际问题中的应用。解决这类问题的一般步骤:1,分析实际问题中各量之间的关系,建立数学模型。写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)。2,求函数y=f(x)的导数y=f'(x),解方程,求f'(x)=0在定义域内的根,确定函数的极值点。3,比较函数在区间端点和极值点
2、的函数值,获得所求的最大(小)值。4,还原到原来实际问题中作答。例.如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.(I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;(II)求面积的最大值.解:(I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图),则点的横坐标为.点的纵坐标满足方程,解得 ,其定义域为.(II)记,则.令,得.因为当时,;当时,,所以是的最大值.因此,当时,也取得最大值,最大值为.即梯形面积的最大值为.
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