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时间:2020-06-09
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1、24.2.2直线和圆的位置关系3··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′,与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线如图,已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P作⊙O的切线吗?通过作图你能发现什么呢?1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段实验观察说明·opAB如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点。如果连结OA、OB、OP,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?探究∵
2、PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴OA⊥PA,OB⊥PB又∵OA=OB,OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB,∠APO=∠BPO结论切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB符号语言∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴PA=PB,∠APO=∠BPO猜想如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系?分析∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴PA=PB,∠APO=∠BPO∴OP⊥AB,且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线,圆
3、心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦;平分切点所成的弧。AD与BD相等吗?⌒⌒例1已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E,交AB于C.(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形.(3)如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解:(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)在Rt△OAP中,由勾股定理,得PA2+OA2=
4、OP2即42+x2=(x+2)2解得x=3cm所以,半径OA的长为3cm.利用切线长定理进行计算·P·OABc如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,OP交⊙O于C,若PA=6,PC=2,求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解:连接OA、AC,则OA⊥AP在Rt△AOP中,设OA=x则OP=x+2∴OA2+PA2=OP2即x2+62=(x+2)2解得x=2,即OA=OC=2∴OP=4在Rt△AOP中,OP=2OA∴∠APO=30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB=2∠APO=60°∴⊙
5、O的半径为2,两切线的夹角为60°练习解得x=2,即OA=OC=2·思考如图所示是一张三角形的铁皮,如何在它上面剪下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?·ABCABCMDNI结论与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心;这个三角形叫做圆的外切三角形。明确1.一个三角形有且只有一个内切圆;2.一个圆有无数个外切三角形;3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。例1△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、
6、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE=z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF=AE,BD=BF,CE=CD则有x+y=9y+z=14x+z=13解得x=4y=5z=9基础题:1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.3.⊙O是边长为2cm的正
7、方形ABCD的内切圆,EF切⊙O于P点,交AB、BC于E、F,则△BEF的周长是_____.EFHG正方形22cm2cm
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