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1、一堂立体几何探究课的教学实录与反思培英高屮吴燕荀内容摘耍：本文从说出正方体中开放性结论入手，通过类比联想，将正方体、正四面体、正八面体、球有机地融合在一•起•同时，由平面到空间、由静到动，寻找以长方体为载体的几何体屮变与不变的量，并得出一个一般性的结论•这节探究课有效地揭发了学生的学习热情，对提高学生探究能力和创新能力作了一次有益的尝试，取得较得的教学效果.关键词：立体几何探究实录反思本文是笔者在一次立体几何探究课上的实录•先从一道开放题切入:C1问题1如图1,棱长为日的正方体A^GD-ABCD中，你
2、能得到哪些结论？生我想可以得到：%1正方体而对角线长为VI■%1止方体体对角线长为品%1正方体表面积为6才；%1正方体体积为a.师：请问谁能给出点评?生2：以上几条结论都正确！不过我想还可以得到:%1正方体外接球的表面积为3“占,体积为¥“才;%1正方体内切球的表面积为na,体积为；na.师：这是一道开放题，结论应该有很多，与正方体有关的问题倍受命题者青睐，也看得出来，在处理立体儿何问题时，止方体的模型作用•更多精彩课后再探究！这时有一位小女生打破沉默：我不明白正方体外接球与内切球的表面积与体积是怎么
3、得来的？师：哪位同学可以答疑？生3：正方体外接球的直径等于正方体体对角线长，正方体内切球的直径等于正方体棱长.师:清楚了吗?小女生似乎还有点困惑.师：如图2,正方形外接圆、内接圆与正方形边长有什么关系？小女生：噢！明白了.类比……生4：正方体述有棱切球的表面积为2兀才，体积为na.生5：正方体内接正四面体（以正方体不共面4个顶点为顶点的四而体）的表面积为2巧才，体积为£/・生6：正方体内接正八面体（以正方体的六个而的屮心为顶点的八面体）的表而积为爲才,体积为丄乳6评注：在学生已有的认知结构和能力的基础
4、上，设计一个看似极其简单的开放题，旨在体现低起点，让不同的学生得到不同层次的结论，鼓励低一级水平的学生向上一级思维挺进，并捉倡让不同的学生给出不同的解决方案，帮助有些可由平面类比、联止四血体正八血体全体同学协调发展，共同进步!师：上述问题都是较常规,想、迁移得到，以正方体为载体，将正四面体、正八面体、正方体、球有机地融合在一起，如图3・下面我们探究正方体中的动态问题：问题2如图4,棱长为&的正方体ABGD-ABCD中,直线6；〃上的线段EF,且E已a,当矿运动时，多面体济4〃仞中哪些发生变化？
5、哪些不变？生7：当莎运动时，多而体刃14沏的形状发生变化，但总有：仃)矿〃平面ABCD；(2)矿与平面個力的距离为定值;(3)多面体矿//救的体积为定值.(注：以下主要证明多面体沪力册的体积为定值，下同)(3)简解:如图4,连结EB,EC,则多面体EF-ABCD被分割成一个四棱锥E-ABCD和一个三棱锥B-ECF,・••多面体EMBCD的体积:(定值)・rA.11Ia53y——xa・a・a+—x—xa—a=一cr332212师：能否作进一步的推广?生8：如果题目条件作如下变化，上述结论仍然成立:(i)
6、E&b；(ii)正方体ABCD、-ABCD变换为长方体；(iii)正方体A^QD-ABCD屮，矿在上底面CC1AACA内平行移动(保持与直线仙平行).(iii)简解：如图5,直线矿分别交仙、于£、F、,连结個、DE、閉、CF・则多面体矿昇磁的体积是三棱柱血矽-财的体积减去两个三棱锥E-ADE、,F-BCF,的体积.•I多面体EF-ABCD的体积会丄xaxdxd-丄x丄xaxdx(E]E+F[F)二丄疋.23212师：变化中找到了不变！评注：引导学生积极参与，由静态到动态：“在变化屮发现不变”
7、是为了鼓励史多同学提出精彩的猜想！图6生9：受上述几位同学的启发，我想到一个问题：问题3如图6,棱长为々的止方体A、BCD-ABCD中，直线BD上的线段矿，且E&H,贝IJ：2A(B(4)防〃平面ABCD；⑸矿与平面個为的距离为定值;(6)多面体沪畀册的体积为定值.(6)简解：连结昇C、劭相交于点0,则多而体沪昇彩是由两个四棱锥A-EFBD.C-EFBD拼接而成.易证/IC丄平面BDD、B,.・.多面体沪㈣的体积耳s“x心挣的％+血卜孚=押生10：我觉得生8的条件下，生9的结论也应该成立，即
8、条件分别改为:(i)EPb；（V）正方体A^QD-ABCD变换为长方体；（vi）正方体ABCD—ABCD中，矿在上底面ABCD内平行移动（保持与直线〃0平行）.AB1B但我对于条件（vi）下体积为定值的证明思路一时想不到.师：有哪位同学能够证明或否定？生11：下面给出证明：（vi）简解:如图7,正方体ARGDrABCD中，连结化、肋相交于点0,连结力乙、〃"相交于点久连结％.则多而体刃是由两个四棱锥A-EFBD.C-EFBD拼接而成.若直
