一dsdhtr堂立体几何探究课的教学实录与反思

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1、一堂立体几何探究课的教学实录与反思培英高中吴燕荀内容摘要：本文从说出正方体中开放性结论入手，通过类比联想，将正方体、正四面体、正八面体、球有机地融合在一起.同时，由平面到空间、由静到动，寻找以长方体为载体的几何体中变与不变的量，并得出一个一般性的结论.这节探究课有效地揭发了学生的学习热情，对提高学生探究能力和创新能力作了一次有益的尝试，取得较得的教学效果.关键词：立体几何探究实录反思本文是笔者在一次立体几何探究课上的实录.先从一道开放题切入：问题1如图1，棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，你能得到哪些结论？生1：我想可以得到：①正方体面对角线长为a；②正方体体对角线

2、长为a；③正方体表面积为6a2；④正方体体积为a3.师：请问谁能给出点评？生2：以上几条结论都正确！不过我想还可以得到：⑤正方体外接球的表面积为3πa2，体积为πa3；⑥正方体内切球的表面积为πa2，体积为πa3.……14师：这是一道开放题，结论应该有很多，与正方体有关的问题倍受命题者青睐，也看得出来，在处理立体几何问题时，正方体的模型作用.更多精彩课后再探究！这时有一位小女生打破沉默：我不明白正方体外接球与内切球的表面积与体积是怎么得来的？师：哪位同学可以答疑？生3：正方体外接球的直径等于正方体体对角线长，正方体内切球的直径等于正方体棱长.师：清楚了吗？小女生似乎还有点困惑.

3、师：如图2，正方形外接圆、内接圆与正方形边长有什么关系？小女生：噢！明白了.类比……生4：正方体还有棱切球的表面积为2πa2，体积为πa3.生5：正方体内接正四面体（以正方体不共面4个顶点为顶点的四面体）的表面积为2a2，体积为a3.生6：正方体内接正八面体（以正方体的六个面的中心为顶点的八面体）的表面积为a2，体积为a3.评注：在学生已有的认知结构和能力的基础上，设计一个看似极其简单的开放题，旨在体现低起点，让不同的学生得到不同层次的结论，鼓励低一级水平的学生向上一级思维挺进，并提倡让不同的学生给出不同的解决方案，帮助全体同学协调发展，共同进步！正四面体正方体正八面体球图31

4、4师：上述问题都是较常规，有些可由平面类比、联想、迁移得到，以正方体为载体，将正四面体、正八面体、正方体、球有机地融合在一起，如图3.下面我们探究正方体中的动态问题：问题2如图4，棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，直线C1D1上的线段EF，且EF=a，当EF运动时，多面体EF-ABCD中哪些发生变化？哪些不变？生7：当EF运动时，多面体EF-ABCD的形状发生变化，但总有：(1)EF∥平面ABCD；(2)EF与平面ABCD的距离为定值；(3)多面体EF-ABCD的体积为定值.（注：以下主要证明多面体EF-ABCD的体积为定值，下同）(3)简解：如图4，连结EB，EC

5、，则多面体EF-ABCD被分割成一个四棱锥E-ABCD和一个三棱锥B-ECF，∴多面体EF-ABCD的体积：V=(定值).师：能否作进一步的推广？生8：如果题目条件作如下变化，上述结论仍然成立：(ⅰ)EF=b；(ⅱ)正方体A1B1C1D1-ABCD变换为长方体；(ⅲ)正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF在上底面A1B1C1D1内平行移动（保持与直线C1D1平行）.(ⅲ)简解：如图5，直线EF分别交A1D1、B1C1于E1、F1，连结AE1、DE1、14BF1、CF1.则多面体EF-ABCD的体积是三棱柱ADE1-BCF1的体积减去两个三棱锥E-ADE1，F-BCF1的体积.

6、∴多面体EF-ABCD的体积V==.师：变化中找到了不变！评注：引导学生积极参与，由静态到动态：线段EF在直线C1D1上静止线段EF在直线C1D1上运动线段EF在上底面A1B1C1D1内平行移动“在变化中发现不变”是为了鼓励更多同学提出精彩的猜想！生9：受上述几位同学的启发，我想到一个问题：问题3如图6，棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，直线B1D1上的线段EF，且EF=，则：(4)EF∥平面ABCD；(5)EF与平面ABCD的距离为定值；(6)多面体EF-ABCD的体积为定值.(6)简解：连结AC、BD相交于点O，则多面体EF-ABCD是由两个四棱锥A-EFBD、

7、C-EFBD拼接而成.易证AC⊥平面BDD1B1，∴多面体EF-ABCD的体积V=S梯形EFBD×AC=.生10：我觉得生8的条件下，生9的结论也应该成立，即条件分别改为：(ⅳ)EF=b；14(ⅴ)正方体A1B1C1D1-ABCD变换为长方体；(ⅵ)正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF在上底面A1B1C1D1内平行移动（保持与直线B1D1平行）.但我对于条件(ⅵ)下体积为定值的证明思路一时想不到.师：有哪位同学能够证明或否定？生11：下面给出证明：(ⅵ)简解：如图7，正方体A1B1C1D