自治耦合格点非线性Schr(o)dinger方程组的一致吸引子及熵的估计.pdf

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1、倒㈣爨黝础数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn自治耦合格点非线性SchrSdinger方程组的一致吸引子及熵的估计木杨新波赵才地贾晓琳(温州大学数学与信息科学学院浙江温州325035)摘要：讨论一类自治耦合格点非线性Schr6dinger方程组解的渐近行为．证明该格点方程组在适当意义下存在一致吸引子，并给出一致吸引子Kolmogorov一￡熵的上界估计．关键词：格点系统；自治耦合非线性SchrSdinger方程组；一致吸引子；Kolmogorov一￡熵．MR(2000)主题分类：35840；35Q5

2、5；76D05中图分类号：0175．8文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)04—636—101引言离散与连续是客观世界物质运动对立统一的两种形式．格点系统是某些变量离散化的时空系统，包括耦合的常微分方程组、耦合映射格点和细胞自动机[1-2]．在某些情况下，格点系统表现为偏微分方程的空间变量离散化近似．格点动力系统在现实中有很多应用，涉及生物学[31，化学反应理论[4-5】，电子工程[6]．激光理论n材料科学[8]，图象处理与模式识别[9--11]，等等．迄今关于格点动力系统的动力学的研究已有很多工作．例如

3、文献f1218]研究了一阶和二阶耗散格点动力系统整体吸引子的存在性和上半连续性；文献[19—22]研究了非自治格点动力系统存在紧致核截面与一致吸引子的充要条件，以及核截面与一致吸引子的上半连续性和熵的估计，并将理论应用于具体的格点数学物理方程；文献『23—27]研究了随机格点动力系统存在随机吸引子的充分条件；文献『28291讨论了关于格点动力系统指数吸引子与一致指数吸引子的存在性问题．值得指出的是，文献『19，22]分别证明了一般非自治格点动力系统存在紧一致吸引子的充要条件：(I)存在有界一致吸收集；(II)具有渐近零性质

4、．本文讨论下面自治耦合格点非线性Schr6dinger方程组的初值问题i吐。一(Au)。+(1+i，y)r“。(f扎。f2+fu。f2)“。=，m，m∈z，t>0，(1．1)j西。+3(Av)。+IVml2"。。=0，m∈z，t>0(1．2)札。(0)=“。．0，rum(0)=Vm,O，m∈z，(1．3)收稿日期：2012—02—07；修订日期：2013—05—15E-mail：zhaocaidi@yahoo．com．cn}基金项目：国家自然科学基金(11271290)、国家973前期预研基金(2012CB426510)、

5、温州大学科研基金(2008YYLQ01)和温州大学研究生创新基金(31606036010129)资助No．4杨新波等：自治耦合格点非线性Schr6dinger方程组的一致吸引子及熵的估计637其中u。(￡)，Vm(￡)∈c(复数集)是未知函数，z是整数集，i是虚数单位，7，巧均为正的常数，A为线性算子定义为(Au)。=2u。一Urn+l—Um-1，Vu=(乱。)。∈z．(1．4)方程组(1．1)一(1．2)可以看作是下面自治耦合非线性Schr6dinger方程组在碾上的一个离散近似in￡4-Ⅱ。。4-(1一lul2一Ivl

6、2)札+i7u=，(z)，(1．5)ivt一5vzz+⋯2u=o．(1．6)方程组(1．5)(1．6)刻画了存在杂质的Bose—Einstein冷凝物模型，其中札，V分别表示Boson和杂质波动函数，7>0表示冷凝物的潮湿系数，f(x)是一个与t无关的外力项．方程(1．5)是下面守恒非线性Schr6dinger方程具有弱阻力项的形式，而方程(1．6)是完全守恒的非线性Schr6dinger方程．文献[30]研究了方程组(1．5)(1．6)在碾上初值问题的一致吸引子的存在性及其渐近行为．注意到方程(1．2)是能量守恒的，不可

7、能存在整体吸引子或一致吸引子．但方程(1．1)中耦合有依赖于时间变量t的u，我们可以将其看作方程(1．1)的符号，从而把方程(1．1)看作非自治的，进而可以在非自治格点动力系统的框架下讨论方程(1．1)的非自治动力学性质．按此思路，本文将运用文献『19，221的思想方法来研究格点方程组(1．1)一(1．3)的一致吸引子的存在性及其Kolmogorov—E熵的上界估计．2解的唯一存在性与符号空间本节主要证明耦合格点非线性Schr6dinger方程组(1．1)(1．3)的解的存在性与唯一性，然后介绍符号空间．为此，先引进一些记

8、号与算子．记孽z：』u‰∈c：∑]UrnIz<+∞、}(2．1)【Jm∈Z并赋以范数和内积(u，")=∑札。v。，㈣2=(u，札)，Vu=(Ⅱ。)。∈zju=(urn)。∈z∈孽2mEZ其中面。表示V。的共轭．则(粤2，(．，·))为Hilbert空间．在孽2中分别定义算子B和B+如下(Bu)m=“m+