高数B2综合练习答案.doc

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1、综合练习一参考答案一、单项选择题1、B　　2、C　　3、C　　　4、A　　5、B6、C　　7、D　　　　二、填空题　（1）　（2）　（3）　（4）　（5）　　（6）、三、计算题1、求定积分解2、求定积分解3、设求。解因为4、设是可微函数，求。解因为所以5、设是由方程所确定的隐函数，求。解设故6、计算，其中是由所围成的闭区域。解四、解答题1、判定级数的敛散性。解因为，所以级数绝对收敛2、求曲线与直线所围成的图形面积，并求此图形绕轴旋转所得旋转体的体积。解曲线与直线的交点为面积旋转体体积3、将展开成的级数，并指出收敛域。解即由，故收敛域为4、求微分方程的通解。解方程化为，这是一个一阶线性

2、微分方程，由公式得5、求微分方程在初始条件下的特解。解由特征方程，解得，所以方程的通解为由初始条件，得，解得，故所求特解为五、设工厂生产和两种产品，主量分别为和(单位：千件)。利润函数为(单位：万元)已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？解：这是一个在约束条件下，求的极大值的一个条件极值。作拉格朗日函数，，由，解得。驻点唯一，实际问题有最优解，所以两种产品各生产和件时，利润最大。六、设连续，且，试证：。证明：令则，得6　，两边对求导得，由此得令得，即综合练习二参考答案一、单项选择题1、A　　2、

3、C　　3、B　　　4、D　　5、A6、B　　7、B　　　　二、填空题（1）（2）（3）（4）发散（5）　　（6）、三、计算题1、计算解2、解3、设，求解4、设是可微函数，求解5、设是由方程确定的隐函数，求解设故6、计算，其中由所围成的闭区域。解，于是四、解答题1、判别级数的敛散性。解，而正项级数收敛，故收敛，因此原级数绝对收敛。2、求由曲线和直线抽围成的图形的面积，并求此图形轴旋转所得旋转体的体积。解面积旋转体体积3、求幂级数的收敛域以及和函数。解，所以收敛半径为，当时，，级数发散，当时，级数收敛，因此收敛域为。设，则，所以4、求微分方程的通解。解方程化为，这是一个一阶线性微分方程，

4、由公式得5、求微分方程在初始条件下的特解。解由特征方程，解得，所以方程的通解为6　由初始条件，得，因此特解为五、应用题1、某工厂生产一种产品同时在两个市场销售，销售量分别为和，售价分别为和，需求函数分别为和，总成本函数为。问厂家如何确定两个市场的售价，使其获得的总利润最大。解：由和得收益函数为利润函数为由解得唯一驻点实际问题有最优解，所以两个市场的销售量分别为件和件时，利润最大。这时的价格分别为和。2、用钢板做一个容量为32立方米的长方体形无盖水箱，问长、宽、高各为多少时，所用的材料最省？解法1：设水箱的长、宽、高分别为，表面积为，则有由，故，问题为求的最小值令得唯一驻点此时，又实际

5、问题的最值存在，故水箱的长、宽、高分别为4m,4m,2m时，所用的材料最省。解法2：设水箱的长、宽、高分别为，则目标函数为约束条件为作拉格朗日函数可得方程组将上述方程组中的第一个方程乘，第二个方程乘，第三个方程乘，再两两相减，得代入第四个方程得唯一驻点，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长，宽均为4米，高为2米时用料最省。六、证明题证明：证：在中令得所以综合练习三参考答案一、单项选择题1、D　　2、C　　3、C　　　4、B　　5、A6、C　　7、B　　　8、D　　　　二、填空题　（1）　（2）0　（3）　（4）　（5）　　（6）、三、解答题1、求定积分解：　　2、求定积分解

6、：令3、判定级数(为常数)的敛散性，并指出是否是绝对收敛解：因为又因为6　故级数收敛，所以收敛，因此原级数绝对收敛。4、将函数展开为的幂级数，并求出其收敛域。解：因为所以　　因此　　　5、求微分方程求微分方程的通解。解：这是一个一阶线性微分方程，由通解公式得：6、求隐函数的偏导数。解：设，所以7、设，其中具有连续偏导数，求全微分。解：由于所以+。8、求二重积分，其中D是由直线和圆所围成且在直线上方的平面区域。解：直线与圆的交点为四、应用题1、设由曲线与直线和轴所围成的落在第一象限的平面区域。求：（1）区域的面积；（2）由区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：曲线与直线的交点为(1)

7、区域D的面积为(2)旋转体的体积2、某农场欲围一个面积为54平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地长、宽各多少米时，所用的材料费用最少？最小费用是多少？解：设场地长为米，宽为米，则总造价为约束条件为　　作拉格朗日函数　　　　　　求的偏导数，并令其为零得　　　　　　　　　　　　　　　　解得　，　　由于驻点唯一，所以场地的长为6米、宽为9米时，所用的材料费用最少。最小费用为　　（元）　　五、证明题设为连续函数，，证明：。证法