导数在生活的优化问题作用极大.doc

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1、导数在生活中的优化问题作用极大优化问题是社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题。利用导数解决生活中的优化问题是的一般步骤：（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题是中变量间函数关系式，根据实际问题写出定义域；（2）求函数的导数，解方程，得出定义域内的实根，确定极值点；（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，得出所求函数的最大（小）值；（4）还原到原实际问题中作答。例1.用总长148m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05m，那么高为

2、多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+05）m，高为=32－2x（m）设容积为ym3，则y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16），整理，得y=－2x3+22x2+16x所以y′=－6x2+44x+16令y′=0，即－6x2+44x+16=0，所以15x2－11x－4=0解得x=1或x=－（不合题意，舍去）从而在定义域（0，16）内只有x=1处使得y′=0由题意，若x过小（接近0）或过大（接近16）时，y值很小（接近0）因此，当x=1时，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，此时，高为32－2×1=12答

3、：容器的高为12m时，容积最大，最大容积为18m3例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省例3.烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8

4、倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC=，于是点C的烟尘浓度为，其中为比例系数令，有，即解得在（0，20）内惟一驻点由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小例4．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入，利润令，即，

5、求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例5.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?解法一设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的

6、总利润最大,最大利润为864元.解法二由上面解法得到y=-6x2+108x+378.求导数,得y′=-12x+108.令y′=-12x+108=0,解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.总之，利用导数解决实际问题是应注意：（1）利用导数解决实际问题，关键在于建立适当的数学模型（即函数关系）。（2）确定函数定义域是求解的关键，就注意把不符合实际意义的值舍去。