导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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1、第七节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点，必须高度重视该部分内容的基础知识和基本方法，以达到熟练掌握、灵活运用的

2、程度.2.选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属于中高档题.利用导数研究函数单调性高考指数:★★★★1.(2012·北京高考)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；(2)当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间［k,2］上的最大值为28，求k的取值范围.【解题指南】第(1)问，交点既在f(x)上也在g(x)上，两个函数在

3、公切点处导数相等；第(2)问，构造函数h(x)=f(x)+g(x)，然后利用导数研究函数h(x)的单调性与极值，结合h(x)的图象，即可求出k的取值范围.【解析】(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,由已知可得解得a=b=3.(2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x,令h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9,令h′(x)=0，得x1=-3,x2=1.x=-3时，取极大值28;当x=1时，取极小值-4.而h(2)=3＜h(-3)=28，如果h(x)在区间［k,2］上的最大值

4、为28，则k≤-3.x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)h′(x)+0–0+h(x)增28减-4增2.(2011·福建高考)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m

5、;(2)对函数f(x)求导得导函数f′(x)，由导函数f′(x)得单调区间，必要时分类讨论；(3)列表判断y=f(x)(x∈[,e])的单调性和极值、最值情况，即可探究出是否存在满足题意的m和M.【解析】(1)由f(e)=2,得b=2.(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx,从而f′(x)=alnx,因为a≠0，故：①当a>0时，由f′(x)>0得x>1；由f′(x)<0得00得01.综上，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间

6、为(1,+∞).当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1).(3)当a=1时，f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.由(2)可得，当x在区间[,e]上变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：x(,1)1(1,e)ef′(x)–0+f(x)2-单调递减极小值1单调递增2又2-<2，所以函数f(x)(x∈[,e])的值域为[1,2].据此可得，若则对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点；并且对每一个t∈(-∞,m)∪(M,+∞)，直线y=t与曲线

7、y=f(x)(x∈[,e])都没有公共点.综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个t∈[m,M]，直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点.【方法技巧】确定函数单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域区间.(2)求f′(x),令f′(x)=0，解此方程，求出定义域区间上的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标，和上面各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间.(4)确定导函数在各个区间上的符号，根据导函数在各区间的符号判

8、定f(x)在每个相应区间上的单调性.3.(2011·广东高考)设a＞0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a≠1时，方程2a(1-a)x2-