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时间:2020-06-08
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1、平衡不平衡相等不相等不等关系与不等式(一)问题1.限速10km/h的路标,指示司机前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过10km/h.写成不等式是V≤10不等关系普遍存在不等式用不等号(<、>、≤、≥、≠)表示不等关系的式子叫不等式。“不等号”是英国数学家哈里奥特(T.Harriot)于1631年开始使用的,但当时并没有被数学界所接受,直到100多年后,才逐渐成为标准的应用符号。二、用不等式(组)来表示不等关系问题2今天的天气预报说:明天早晨最低温度为9℃,明天白天的最高温度为16℃,那么明天白天的温度t℃满足什么关系?答案:9≤t≤1
2、6用不等式(组)来表示不等关系二、用不等式(组)来表示不等关系问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?问题3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求,600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?分析:设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根二、用不等式(组)来表示不等关系三
3、、不等式基本原理a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>an>0,a>0,比较am+a-m与an+a-n的大小.【解析】【评析】作差
4、法比较大小,关键是判断差的符号,应注意应用函数性质.不等式的基本性质(同向不等式的可乘性)(可乘方性、可开方性)例1.应用不等式的性质,证明下列不等式:(1)已知a>b,ab>0,求证:;证明:(1)因为ab>0,所以又因为a>b,所以即因此不等式的性质例5.对于实数a,b,c,判断下列命题的真假.(1)若a>b,则acbc2,则a>b;(3)若aab>b2;(4)若a5、a6、>7、b8、;(5)若c>a>b>0,则 .(6)若a>b,,则a>0,b<0.注意:若要判断命题是真命题9、,应说明理由或进行证明,推理过程应紧扣有关定理、性质等;若判断命题是假命题,只需举一反例.学点四 应用不等式的性质讨论范围已知,求,的范围.【分析】已知的不等式相当于所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围,所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质:同向不等式可相加,那么要进行不等式相减怎么办?那只有将其转化为同向不等式再相加.例.【解析】【评析】两个不等式要相减时,不能直接相减,而要转化为同向相加:α-β=α+(-β).同时要注意,本题中的取不到等号,而左边可以取到等号,这一点极易出错.例.(1)如果3010、,求x-2y及的取值范围。1811、b的取值范围。解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得,所以9a-b=(a-b)+(4a-b)由-4≤a-b≤-1,得由-1≤4a-b≤5,得以上两式相加得-1≤9a-b≤20.例11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为元,乙的平均价格为.∴乙合算.1.不等关系a12、≤b或a≥b的含义是什么?不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a
5、a
6、>
7、b
8、;(5)若c>a>b>0,则 .(6)若a>b,,则a>0,b<0.注意:若要判断命题是真命题
9、,应说明理由或进行证明,推理过程应紧扣有关定理、性质等;若判断命题是假命题,只需举一反例.学点四 应用不等式的性质讨论范围已知,求,的范围.【分析】已知的不等式相当于所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围,所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质:同向不等式可相加,那么要进行不等式相减怎么办?那只有将其转化为同向不等式再相加.例.【解析】【评析】两个不等式要相减时,不能直接相减,而要转化为同向相加:α-β=α+(-β).同时要注意,本题中的取不到等号,而左边可以取到等号,这一点极易出错.例.(1)如果3010、,求x-2y及的取值范围。1811、b的取值范围。解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得,所以9a-b=(a-b)+(4a-b)由-4≤a-b≤-1,得由-1≤4a-b≤5,得以上两式相加得-1≤9a-b≤20.例11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为元,乙的平均价格为.∴乙合算.1.不等关系a12、≤b或a≥b的含义是什么?不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a
10、,求x-2y及的取值范围。1811、b的取值范围。解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得,所以9a-b=(a-b)+(4a-b)由-4≤a-b≤-1,得由-1≤4a-b≤5,得以上两式相加得-1≤9a-b≤20.例11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为元,乙的平均价格为.∴乙合算.1.不等关系a12、≤b或a≥b的含义是什么?不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a
11、b的取值范围。解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得,所以9a-b=(a-b)+(4a-b)由-4≤a-b≤-1,得由-1≤4a-b≤5,得以上两式相加得-1≤9a-b≤20.例11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为元,乙的平均价格为.∴乙合算.1.不等关系a
12、≤b或a≥b的含义是什么?不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a
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