高数基本概念整理

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1、高等数学定理整理第一章1.确界存在性定理若非空数集E有上（下）界，则E必有上（下）确界。第二章1.数列的极限的定义对一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式

2、Xn-a

3、<ε都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a，即为Xn=a(n→∞)或2.无穷小的定义，a=0时，称数列｛Xn｝为无穷小量，简称）Xn为无穷小。3.的充要条件为为数列｛Xn-a｝为无穷小4.若数列｛An｝｛Bn｝是无穷小，则｛An+Bn｝和｛An-Bn｝均为无穷小5.若数列｛An｝是无穷小，｛Bn｝有界，则｛AnBn｝是无穷小。6.无穷大对数列｛Xn｝

4、，若对任意G＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，｜Xn｜＞G，则称Xn为无穷大7.lim（x→∞）Xn=∞等价于lim（x→∞）｛1/Xn｝=08.(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。9.（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界10.改变数列的有限项，其收敛性不变。11.增加或减少数列的有限项，其收敛性不变。12.归并性：的充分必要条件是｛Xn｝的任一子列｛Xnk｝均满足其极限为a。13.数列极限的四则运算14夹逼定理F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限AlimF(x)＝limG(x)＝A　　则若有函数f(x)在Xo的某领域内恒有　　

5、F(x)≤f(x)≤G(x)　　则当X趋近Xo有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)　　进而有　　A≤limf(x)≤A　　f(Xo)＝A　　简单的说~函数A>B,函数B>C　　函数A的极限是X　　函数C的极限也是X　　那么函数B的极限就一定是X15单调有界数列极限存在定理若｛Xn｝单调增加（减少）且有上界（下界),则｛Xn｝收敛16区间套定理区间套定理:设一无穷闭区间列{[a(n),b(n)]}适合下面两个条件:(1)后一区间在前一区间之内,既对任一正整数n,有a(n)<=a(n+1)无穷时,区间列的长度{(b(n)-a(n))}所成的

6、数列收敛于零,则区间的端点所成的两数列{a(n)}及{b(n)}收敛于同一极限$,并且$是所有区间的唯一公共点.17.Heine定理lim[x->a]f(x)=b存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列，且lim[n->∞]an=a，an≠a，有lim[n->∞]f(an)=b。18.函数极限的性质唯一性如果当x®x0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的.局部有界性若极限存在，则函数f(x)在U（a，ξ）有界局部保号性如果f(x)®A(x®x0),而且A>0(或A<0),那么对任何正数rr>0(或f(x)<-r<0).夹

7、逼定理对函数极限依然满足19.复合函数求极限法则Lim（u→b）f（u）=A,Lim(x→a)g(x）=b，且当x∈U0（a）时，g(x)≠b,则Limitf（g(x))=A20等价无穷小在乘积中可以替换，而在求和中不能替换。21f（X）在X0连续的充分必要条件是f（x)在Xo处既左连续又右连续22.设函数g在X0处连续，而函数f在点u=g（x0）连续，则复合函数f0g在点X0处连续。23.若函数在区间I内严格单调增加（减少）且连续，那么他的反函数在区间R（f）内也严格单调增加（减少）且连续。24.闭区间上连续函数的性质（有界性定理）若f∈C[a，b]，则f在[a，b]有界（最大和最小值定

8、理）若f∈C[a，b]，则任意ξ，δ∈[a，b]，使得f（ξ）和f（δ）分别为f（x)在[a，b]上的最大值和最小值。（零点存在定理）若f∈C[a，b]，且f（a）f（b)<0,则存在ξ∈[a，b]，使得f（ξ）=0（介值定理）若f∈C[a，b]，，M，m分别是f（x）在[a，b]的最大和最小值，M大于m，而u∈[m，M]，则存在ξ∈[a，b]，使得f（ξ）=u第三章1.可导必连续，连续未必可导2.F（x）在X0出可微的充要条件是F（x)在x0处可导。3.导数的四则运算①(u±v)'=u'±v'　　②(uv)'=u'v+uv'　　③(u/v)'=(u'v-uv')/v^24.复合函数的导数

9、复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为　　y'=u'*x'　　即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.对于N个函数的复合，同样满足此链式法则5.隐函数的求导在假定隐函数存在且可导的情况下，可以用复合函数求导的链式法则求出其导数第四章Fermat定理设函数在点X0处取得极值，且f（x)在点X0处可导，则f’（x0）=0Darboux定理若函数f(x)在[