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时间：2019-07-10
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1、微分方程第七章—积分问题—微分方程问题推广微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第七章引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(
2、t).制动时常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例2引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.例1.验证函数是微分方程的通解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是
3、方程的通解.并求满足初始条件求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,思考与练习P2981;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6第二节
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