含参不等式讲稿).doc

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1、含参数不等式在一定条件下，给出一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最大(小)值，这是数学竞赛中比较活跃的题型之一，确定使不等式恒成立的参数的取值范围或最值，一般要经过这样几个步骤：首先可估计或猜测该参数的上界或下界，再求出该参数的上界或下界，最后注明不等式对于这个上界或下界恒成立.处理这类问题既要注意运用不等式的比较法、放缩法、反推法、归纳法等，以及善于灵活运用一些基本不等式，如算术－几何不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等，还要善于利用函数的性质(单调性、最值性等)、利用所给不等式的结构特征来处理.例1、(07浙江竞赛)设正实数

2、及非负实数满足条件求的最小值，并论证你的结论.解：根据，有.　()上式取等号当且仅当.例2、求使下列两式对任何实数都成立的的所有值.解：将式②变形为③对任意实数均成立，故于是式①为④令，则式④为作辅助函数，则在上恒大于0，因，所以，有如下两种情形：(1)△，则或；(2)有则.综合(1)、(2)，可得的取值范围为例3、设为直角三角形的三边长，其中为斜边长，求使成立的的最大值.(2008年第四届北方数学奥林匹克邀请赛)解：记，并设，则设，则，故注意到，函数在区间上是减函数，故因此，最大的例4、设是直角三角形的三边长，且,若对所有直角三角形都成立，求最大常数，并确定

3、何时等号成立.解：当，即△ABC为等腰直角三角形时，原不等式为，即,猜测的最大值为.下证：①不妨设，边所对的角为，则,令，于是有(由，则)从而式①得证，且当θ＝时等号成立.故欲求的的最大值为.说明：本题先取特殊值猜测的最大值，进而进行证明，这种利用特殊值“先猜后证”的方法是解决这类问题的常用手法.式①也可以用另一个简捷的证法：.例5、设a≤b＜c是直角三角形的三边长，求最大常数M，使得＋＋≥恒成立.例6、求最大的常数，使得对满足的实数，恒有解：当时，不等式也成立，则.下证在条件下，不等式①恒成立.式①等价于，即.令，因，有.设，，则在上是递增的，且.故在上有.

4、从而.综上所述，的最大值为.说明：欲求含在不等式中参数的最值，可先估计该参数的上界或下界，然后再证明不等式对于这个上界或下界恒成立.本题也可以这样来考虑：求出的最小值，此最小值即为的最大值.即.由，则，.于是.当时等号成立，于是的最小值为，从而的最大值为.例7、求最大的正数λ，使得对任意实数a，b，均有λa2b2(a＋b)2≤(a2＋ab＋b2)35、设正数x,y满足x3＋y3＝x－y，求使x2＋λy2≤1恒成立的实数λ的最大值.(2014希望联盟夏令营)例8、(2002女子奥数)试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(ab＋bc＋ca)＞5(a2＋b2

5、＋c2)的正数a,b,c，一定存在三边长分别为a,b,c的三角形.例9、求最大的常数k，使得对于[0,1]中的一切实数a，b，c，d，都有不等式a2b＋b2c＋c2d＋d2a＋4≥k(a2＋b2＋c2＋d2)成立.例10、(2006东南奥赛)求最小的实数m，使得对于满足a＋b＋c＝1的任意正实数a，b，c，都有．解法一：当a=b=c＝时，有．下证不等式对于满足a＋b＋c＝1的任意正实数a，b，c都成立．因为对于，有，故，．所以，，，把上面三个不等式相加，得.所以，m的最小值为27．解法二：当a=b=c＝时，有．下证不等式对于满足a＋b＋c＝1的任意正实数a，b

6、，c都成立．因为，所以，同理，，，于是，，所以．所以，m的最小值为27．例11、(2003女子奥数)给定正整数，求最大的实数，使得不等式对任何满足的正整数均成立．例12、(2006年江苏省复赛题)设为正数，记为中的最小数.(1)求证：存在，使得；(*)(2)求出使不等式(*)成立的最小正数；并给予证明.解：(1)由的定义知，，，.将这三个不等式相加，得，即，故可取.(2)不妨设.若，则，且.因此，，即.若，则，且.因此，，故此时也有.为了证明，我们取，则，此时有.由此可见，对于任意正数，有.故只要，上式右边就.因此必有.综上两个方面所述，可知满足(*)的最小正

7、数为.课外作业：1、(06江苏复赛)已知函数，令Sn＝f()＋f()＋…＋f()＋f(1),n∈N*若不等式＜恒成立，求实数a的取值范围.答案：a＞2、求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有(x＋3＋2sinθcosθ)2＋(x＋asinθ＋acosθ)2≥．(1996年全国高中数学联赛)解：令sinθ＋cosθ＝u，则2sinθcosθ＝u2－1，当θ∈[0，]时，u∈[1，]．记f(x)＝(x＋3＋2sinθcosθ)2＋(x＋asinθ＋acosθ)2．则f(x)＝(x＋2＋u2)2＋(x＋au)2＝2x2＋2(u2＋au＋2)x＋

8、(u2＋2)2＋(au)2＝2[x＋(