非负矩阵Hadamard积的最大特征值的上界-论文.pdf

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1、第33卷第1期西华大学学报(自然科学版)2014年1月Vo1．33，No．1JournalofXihuaUniversity·NaturalScienceJan．20l4·基础学科·非负矩阵Hadamard积的最大特征值的上界周光，钟守铭(电子科技大学数学科学学院，四川成都611731)摘要：利用了Gerschgorin定理的推广Cassini卵形域，研究了非负矩阵Hadamard积的最大特征值的上界估计问题。在理论上，证明了本文获得的结果比相应的结果更加精确。同时，也通过数值例子说明了这一点。关键词：非负矩阵；Hadamard积；最大特征值中图分

2、类号：0151．21文献标志码：A文章编号：1673—159X(2014)01—0052—04doi：10．3969／j．issn．1673—159X．2014．01．013TheBoundsfortheLargestEigenvaluesofHadamardProductofTwoNonnegativeMatricesZHOUGuang，ZHONGShou—ming(SchoolofMathematicsScience，UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina，Chengdu611731C

3、hina)Abstract：Inthispaper，theauthorsstudytheupperboundofthelargesteigenvMueproblemoftheHadamardproductofnonnega—tivematrixbyusingBrauer~OvalsofCassini．Intheory，theresultismoreaccuratethanthecorrespondingresult，whichisalsoillus—tratedbytwonumericalexamples．Keywords：nonnegativem

4、atrix；Hadamardproduct；largesteigenvalue．非负矩阵是在理论和应用2方面都非常重要的A1A12．～【_矩阵，尤其是非负矩阵的最大特征值相关问题一直A2P4P：是矩阵理论研究的热点之一。本文给出了非负矩阵Hadamard积的最大特征值的上界的新估计。1预备知识其中／4是不可约的，i=1，2，⋯，k。最近很多学者研究了关于非负矩阵Hadamard为了方便，给出如下定义。积的最大特征值的上界估计问题，例如和本文相关定义1Ell如果4中任意元素a≥0，则称A=的文献[4]和[5]得到了下面的结果。(a)为非负矩阵。定理1

5、设A=(a)∈R和B=(b)∈定义2如果A=(n)∈R“，B=R均为非负矩阵，则(b)∈R，则称A。B=(0f6)为A与B的Had-p(A。B)≤．inax{2ab+p(A)P(B)一amard积。l≤￡≤n定义3[设A∈R，则称A是不可约的或aiiP(B)一biiP(A)}(1)存在置换矩阵P，使得定理2设A=(a)∈R和B=(b)E收稿日期：2013-03-04基金项目：国家自然科学基金(61273015)；国家重点基础研究发展计划(2010CB732501)作者简介：周光(1987一)，男，硕士研究生，主要研究方向为矩阵分析。第1期周光，等：

6、非负矩阵Hadamard积的最大特征值的上界53R均为非负矩阵，则证明：如果A。B是不可约的，则A和B均是不可约的。通过引理4，有p(A。B)≤Ea，x寺二{aib+一。+[(aiib—p(A)>a，Vi∈N；p(B)>b，Vi∈N。)+4(p(A)一a)(P(B)一b)(p(A)一因为A=(a)和B=(b)均为非负不可约口)(p(B)一b)]丁}(2)的，由引理1，则存在2个正向量U、满足Au=p(A)，Bv=P(B)。则有：2主要结果及证明这部分内容主要给出了非负矩阵Hadamard积％+∑=p()，yi∈N；最大特征值的上界的新估计，并给出了

7、比较结果。6+∑b：j=p(B)，V∈N。为了得到新结果，给出如下引理。引理1¨设A≥0为n阶不可约矩阵，则令D=VU，通过引理2，对任意的正对角矩阵1)有一个正实根等于它的谱半径；D，有2)A有一个对应于特征值p(A)的特征向量D．1(A。B)D：U-1VI1(A。B)VU=UI1(A。>0。(V一BV))U=(U一AU)。(V一BV)=A。B引理2[4设、B为rt阶复矩阵，如果E、因为P(A。B)是AoB的特征值，则有为n阶对角矩阵，则P(A。B)∈or(D(A。B)D)=(A。)。E(。B)F=(EAF)。B=(EA)。(BF)=通过引理5，

8、存在正整数对(AF)。(EB)=A。(EBF)。(，)(i≠，1≤，≤n)，满足引理3如果A为不具有零行的非负矩阵，}P(