线性变换在变量函数积分学中的应用.doc

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1、线性变换在多变量函数积分学中的应用在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。下作讨论。在O-XYZ坐标系中，将一组基（X，Y，Z）乘一个矩阵M3×3，转化为另一组基（U，V，W），这时Jacob行列式为=detM=，特别地,当M为正交矩阵，即进行正交变换，Jacob行列式为1，在进行线性变换时，要合理选择M。1．合理选择M，化复杂区域为简单区域。如计算由平行六面体,围成的

2、体积,线性变换后,此空间不规则区域可化为标准长方体,只需另，,,易确定-h1≤u≤h1,-h2≤v≤h2,-h3≤w≤h3,=。于是V=dxdydz=dw=。。这样看问题，避免了为确定积分限而进行的复杂计算，而且x,y,z地位等价，化为累次积分，往往计算量很大。2．合理选择M，将复杂的空间曲线转化为某个平面上的规则曲线。在曲线积分中，若易找出r(t),则计算简便，但若曲线由很一般的曲面交线给出，如果曲线在“倾斜”的平面上，线性变换可化到O-XYZ平面上，便于研究。如计算，:球面与交线。分析此问题，由于x,y,z对称，可考虑本文不再讨论，事实上，观察知，是平面上的圆，半径为圆心在原点

3、，考虑变换到O坐标系中，使此圆落在平面内，圆方程为。在O-XYZ系中，三个基向量，在O系中，三个基向量为，令，则圆所在平面。再找，利用正交性，可令于是被完全确定为。至此于是，=，再令易得结果。1．最后，举一例作为正交变换应用的说明求其中分析：这与似乎有关系，如何转化？因为定正。故正交，使即正交，使得且，原式=。从以上的讨论看出：必须注意观察已知条件，才能合理进行线性变换，当积分区域，被积表达式具有某种线性的特征时（也即可表为变量的线性组合）往往可以考虑线性变换，而定正矩阵的应用可视为一种技巧。学科交叉可以给我们更多的思考。