一道习题的思考与拓展.doc

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一道习题的思考与拓展湖北省钟祥市第五中学孙红强数学学习的很多方法来源于教材，如果我们将教材中的知识或习题中的方法点能灵活掌握，那么，就能获得快速解决高于书本的问题的方法，所以，古语说：“熟能生巧”。然而具体到教材学习时，该如何进行研究教材呢？下面从对教材的一道习题的思考与拓展中来作探索。问题：（教材第85页中的“拓广探索”第6题）我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？这是教材中的一个问题，大家都已经做了研究，并能得到一个结论：如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数。研究到此，估计很多同学将它放弃了，实际上这个问题很值得我们再思考、再拓展。下面来进行拓展。拓展：非正整数的“勾股数”问题中“3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数”，我们知道结论是成立的，勾股数的意义是各个数据必须是正整数，所以问题中强调“k是正整数”，那么，当k不是正整数，而是正的任意一个小数（或分数），那么，结论还成立吗？实际上，当k是任意的一个正数时，上面的结论仍然还是成立的。∵3、4、5是一组勾股数，∴当它们乘以（除以）任意一个正数后，得到三个数：3k、4k、5k，由于（3k）2＋（4k）2＝（5k）2，所以，它们仍然是一组“勾股数”，也就是以它们为三角形的三边，构成的三角形就是直角三角形。只不过这里说的“勾股数”不再是正整数了。于是，我们可以在“如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数。”的研究中，就能继续拓展，对于任意的一个直角三角形的三边长，将它们分别乘以（或除以）同一个正数后，以所得的三个数为边长仍然能构成一个直角三角形。上面问题的结论经过这样的思考与拓展之后，就获得了一个应用很广的结论，利用它就能很快的解决与直角三角形的边长的计算有关的问题。下面举例分析：问题1：一个直角三角形的两直角边长分别24、32，求其斜边长。分析：我们一般是直接使用勾股定理进行求，那么就要分别求27、36的平方，并且将它们结果相加，再开方，才能求出斜边长。如果借助上面拓展的结论来研究，就使得计算量大大减小。由于这两条直角边长为27、36，分别是3、4的9倍，于是，可以先将这两条直角边长分别除以9，可以得到3、4为直角边的直角三角形的斜边长是5，所以原来直角三角形的斜边长为5×9＝45。问题2：一个直角三角形的一条直角边长为23，斜边长为23，则其另一条直角边长是多少呢？分析：直接使用勾股定理计算就显得麻烦，可以借助上面拓展的结论：由于所给出的一条直角边与斜边长为23、23，若分别除以23，就得到1、，而它们是一个等腰直角三角形的一条直角边与斜边长的基本比例系数，等腰直角三角形的三边比例关系为：1∶1∶，于是，可以很快的知道这个直角三角形的另一条直角边长为1×23＝23。问题3：若一个直角三角形的两条直角边长分别为3．5cm、8．4cm，求这个三角形的第三边长。 分析：若直接使用勾股定理，计算量是很大的，注意观察其中给出的数据的关系，就会发现：3．5和8．4分别是0．7的倍数，即分别为0．7的5倍、12倍，而以5、12为直角边长的直角三角形的斜边长是13，于是，可以得到这个直角三角形的斜边长为：13×0．7＝9．1cm。看，对教材中一个并不怎样引起你关注的问题的思考与拓展之后，我们不仅获得了勾股数的拓展认识，而且还获得一个简便计算特殊直角三角形的边长的方法，只要给出的直角三角形的边长的数据有特殊的关系，我们就不需在那里进行“老老实实”的计算，可以直接借助上面的思考中获得的拓展结论，抓住数量的关系，稍加观察，在不动用笔的情况下轻松获得问题的结论。