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《高等数学 课后习题答案第九章.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题九1.求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。解：2.求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：的方向余弦为故3.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为所以在点处切线斜率为法线斜率为.于是∵∴4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2);(4)z=(
2、x2+y2);(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，
3、C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.(3)解方程组得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=－2(4y-y2),Zxy=4(3－x)(2－y)Zyy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B
4、=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函
5、数z=ue-u由，令得u=1,当u>1时，；当u<1时，,由此可知，在满足x02+y02=1的点（x0,y0）的邻域内，不论是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函数z在点（x0,y0）取得极大值z=e-1(5)解方程组得驻点为zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为于是易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，H（P2）当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且,H（P2）当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且.5.设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0
6、，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。解：由已知方程分别对x,y求导，解得令解得,将它们代入原方程，解得.从而得驻点.在点（-2，0）处，B2-AC<0，因此函数有极小值z=1.在点处，B2-AC<0，函数有极大值.6.在平面xOy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为
7、x
8、,到y=0的距离为
9、y
10、，到直线x+2y-16=0的距离为距离的平方和为由得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。7.求旋转抛物面z=
11、x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求其在条件z=x2+y2下的最值。设F（x,y,z）=解方程组得故所求最短距离为8.抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则
12、OP
13、2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2，x+y+z=1设F（x,y,z）=x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)解方
14、程组得由题意知，距离
15、OP
16、有最大值和最小值，且.所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是.9.在第I卦限内作椭球面的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。解：令∵∴椭球面上任一点的切平面方程为即切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为即求在约束条件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。设,解方程组得.故切点为，此时最小体积为*10.设空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此
