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《广义积分换元与分部积分之后的一些有趣现象-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.,ozo一九九年Vl袍1,第十卷第一期天津商学院学报1990广义积分换元与分部积分之后的一些有趣现象广义积分的换元和分部积分是基于广义积分的下述性质(这里我们仅给出无穷限广义,:积分的情形至于瑕积分可通过换元法化为无穷限广义积分),,,1x二a+o)上甲=b、O=+O命题若函数p(r)t在〔严格单调且(a)叫)又两个广义积分``、x’ux少,f〔甲川〕印(t)dtJJ,,之一收敛贝1另一个亦收敛且’·````f(,df〔·`t,〕·()dI;一{;、,,、2ux···`·d’命题若()()在〔)上可导且··’’一{d仁至:一J:丁,,少有两个收敛则另外一个也收敛且一JJ、。十ocv十二二1
2、im〔utt这里以卜(()()〕~卜+toa下而我们来看看广义积分经过换元与分部积分后的有趣现象。.1绝对收敛性的变异。:广义积分经分部后的绝对收敛性有时会有变化如·1二5·12,例`用部分积分可证`导一d/(二,`二d/(二,等式左边不I)J:,。绝对收敛右边却绝对收敛、,证对任意t>o我们有·1二51`干’51·’d/`二,二/(”二d/“二,I一丁;0=’`n`’+`+/`,51nxdx/(1+二)“丁令t、、两边取极限有`。Coo“s十xx一。`”“s`+x’xx/”J“08`n5+x之x+x2+xix2注意到l(((由dl收(敛性知//,·08·52·1`.,.t
3、d绝(对收敛故d
4、/`,收敛/但J.r二二二!丁)一cosxeos“x,!李且注意到d·+X,/“,、。05’xdx/(1+x)一Jd·`+X+/〔2(,〕eosZxdx〔2(1+x一丁/)〕·,。。S··工。。。S··由d/〔2`1二,〕发散故`}d/`二,发散即积分`/“二,f)J:J)。·2不绝对收敛(注意Jrld/〔(,二,提收敛的,I:一.2广义积分经换元后可化为常义积分,某些广义积分经变元替换后可化为常义(普通)积分这里基于某些被积函数的性质而形成的。2=··例、卜算积分`d/(2)J{一,一。x二1解是积分的瑕点故I是广义积分x=sint,x=eostdt,令则d这样有二/2二/2x`2一`=d
5、/`”亿5intdtlcos“一一’cos=:。I/(+t卜tg(t)/4而丁xx=一一”,由dd(、x)这样注.xx一,二一一xZ一x艺’”一一xZ’2,xd/斌1xd(l)/2(l)/=d(l)/如是艰点二了不复存在了,3·例t,算`一二`/、I{一,。。x=1解是积分的瑕点故I是广义积分X二sint,x=eost,令则ddt这样有72·.`,,Z一1l!Z11:2.矛`、产、二1;’·1(k)/(k)/盆k2⋯)二d/⋯s`“”d`=一{O一J{(Zk)l,/(Zk+1),-=0,1,2,⋯)显然后者亦化为常义积分。.注此命.实刻与例2类同·4`’`·1例计算一八,I:一。:解这是一个
6、无穷限广义积分今考虑换元x=tgt,x=see“tt,t,tg一’x,财dd且’`·1=。。5Zt+t、Zt/(,dt/(1)一eosZ卜ZtdtJ)一JI`Zn一3l!Zn一2!z二2()/()/“”x二t注这里的变异出自换元gt。8常义积分亦可经变形化为广义积分,,既然广义积分可经换元后化为常义积分那么反之常义积分亦可经变形化为广义积分(以便计算该积分值)。51···例、卜算、(了)八1不)d{;。,:解这显然是一个常义积分将分子有理化后变为一1·侧交)7(石劝`一(一,d/丫l{不J{一=·1··,d/了d/侧了二`?J:J;一=。x1的广义积众俱是式右两个积分均为有瑕点工.,`1,ù
7、C0护产.J,xl一xZ=5n一`x=二1d/侧i2/01·=22`(1),一//侧二一=一,xdx1一xZ一、/侧J{丙口{综上、瓦/i)八1一幻d/2一l;一,,注尽管如此在后面两个广义积分计葬中仍是化为了常义积分参考文献(略)共振班
